电磁场镜像法课件.ppt

电磁场 镜像法; 根据前面的讨论知道：在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用Laplaces equation求解场分布；在所考虑的区域内有自由电荷分布时，用Poissons equation 求解场分布。 如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面，这类问题又如何求解？这就是本节主要研究的：解决这类问题的一种特殊方法— 称为镜象法。;1、镜象法的基本问题 在点电荷附近有导体或介质存在时，空间的静电场是由点电荷和导体的感应电荷或介质的束缚电荷共同产生的。 在所求的场空间中，导体的感应电荷或介质的极化电荷对场点而言能否用场空间以外的区域（导体或介质内部）某个或几个假想的电荷来代替呢？ 光学成像理论给我们的启发：当我们把点电荷作为物，把导体或介质界面作为面镜，那么导体的感应电荷或介质的极化电荷就可作为我们所说的象，然后把物和象在场点处的贡献迭加起来，就是我们讨论的结果。;2、镜象法的理论基础 镜象法的理论基础是唯一性定理。其实质是在所研究的场域外的适当地方，用实际上不存在的 “象电荷” 来代替真实的导体感应电荷或介质的极化电荷对场点的作用。在代替的时候，必须保证原有的场方程、边界条件不变，而象电荷的大小以及所外的位置由Poissons equation or Laplaces equation 和边界条件决定。 这里要注意几点： a) 唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的Poisson‘s equation or Laplace’s equation，即所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由点电荷位置、大小不能变）。因此，做替代时，假想电荷必须放在所求区域之外。在唯一性定理保证下，采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。; b)由于象电荷代替了真实的感应电荷或极化电荷的作用，因此放置象电荷后，就认为原来的真实的导体或介质界面不存在。也就是把整个空间看成是无界的均匀空间。并且其介电常数应是所研究场域的介电常数。（实际是通过边界条件来确定假想电荷的大小和位置）。 c)一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。 d)象电荷是虚构的，它只在产生电场方面与真实的感应电荷或极化电荷有等效作用。而其电量并不一定与真实的感应电荷或真实的极化电荷相等，不过在某些问题中，它们却恰好相等。 e)镜象法所适应的范围是：①所求区域有少许几个点电荷，它产生的感应电荷一般可以用假想点电荷代替；②导体或介质的边界面必是简单的规则的几何面（球面、柱面、平面）。;3、镜象法的具体应用 用镜象法解题大致可按以下步骤进行 ： a)正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界条件；（坐标系选择仍然根据边界形状来定） b)根据给定的边界条件计算象电荷的电量和所在位置； c)由已知电荷及象电荷写出势的解析形式； d) 根据需要要求出场强、电荷分布以及电场作用力、电容等。 ;点电荷与平面导体;各种简单边界的组合作为边界;线电荷与平面导体;导体上的感应电荷密度为：;电偶极子的镜像;应用举例;由边界条件确定;（b）电荷Q 产生的电场的电力线全部终止在导体面上 它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在 右半空间完全相同。 ;导体板上部空间的电场可以看作原电荷与镜象电荷共同激发的电场。场点P的电势;镜像法所解决的问题中最常见的是导体表面作为边界的情况，但也可用于绝缘介质分界面的场问题。;再考虑介质ε2中的电势φ2，这时我们不能用上面的像电荷Q来计算ε2区域内的电势。这是因为，按照电像法，像电荷必须在所考虑的区域之外。 所以，我们现在把在ε2区域外的电荷Q及其引起的极化电荷合起来，用ε2区域外的一个像电荷Q来统一考虑。设z0上半空间的介质ε1全部换为介质ε2 ，并在z=b处有一电荷Q ，则z0下半空间里任一点的电势为;下面由边界条件定Q’, Q” 和b，边界条件为：;将(1) (2)两式带入 (5)，消去分子中的x后，再取x=y=0,;交界面上极化电荷面密度;解：（1）分析： 因导体球接地故球的电势为零。根据镜象法原则假想电荷应在球内。因空间只有两个点电荷，场应具有轴对称，故假想电荷应在线上，即极轴上。;（2）由边界条件确定;;② 球面感应电荷分布 ;总感应电荷为 即感应电荷的大小等于象电荷Q的大小。 也可以这样证明： 根据Gauss定理，对球作Gauss面，即; 式中的 是象电荷Q和真实电荷Q共同产生的，即 故 Q感=Q 即感应电荷的电量Q感等于