高中数学函数基本性质专项讲义及练习.docxVIP

专题 函数基本性质 考点精要 会运用函数图像理解和研究函数的性质． 热点分析 主要考查函数的性质及运用 知识梳理 1．函数的单调性： 设函数y=f（x）的定义域为A，区间．如果取区间M中的任意两个值x1，x2，设改变量，则当时，就称函数y=f（x）在区间M上是增函数，当时，就称函数y=f（x）在区间M上是减函数． 如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性．（区间M称为单调区间） 函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间内任取x1，x2,当x1 x2时判断相应的函数值f（x1）与f（x2）的大小． 利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是图象观察得到的．对于型复合形式的函数的增减性，可换过换元，令，然后分别根据，在相应区间上的增减性进行判断，一般规律是：“同则增，异则减”，即内外层函数的单调性相同（同增或同减）则为增；内外层函数的单调性相反（内增外减或内减外增）则为减．其本质源于复合函数求导的连锁法则以及函数单调性与其导函数符合的关系． 此外，利用导数研究函数的单调性，更是一种非常重要的方法，是“大规大法”，由导数正负与单调性的关系及两函数和、差、积、商的求导法则可以推出许多判定函数单调性的简单技巧． 2．函数的奇偶性： 设函数y=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有，且，则这个函数叫做奇函数．设函数y=g（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有，且g（－x）=g（x），则这个函数叫做偶函数． 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． 如果一个函数是偶函数，则它的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数． 在奇函数与偶函数的定义中，都要求,，这就是说，一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称．如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的前提条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数． 此外，由奇函数定义可知，若奇函数f（x）在原点处有定义，则一定有f（0）=0，此时函数f（x）的图像一定通过原点． 研究函数的奇偶性对了解函数的性质非常重要．如果我们知道一个函数是奇函数或偶函数，则只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分，得出函数在其中一部分上的性质和图象，就可得出这个函数在另一部分上的性质和图像． 由函数奇偶性定义，可以推出如下法则： 在公共定义域上： 两个奇函数的和函数是奇函数，差函数也是奇函数； 两个偶函数的和函数与差函数都是偶函数； 两个奇函数的积或商是偶函数； 两个偶函数的积或商是偶函数； 一个奇函数与一个偶函数的积或者商都是奇函数． 3．单调性与奇偶性之间的关系： 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反； 例题精讲 例1.下列函数中，满足“对任意，（0，），当时，都有 的是( ) A．= B. = C .= D 例2 ．对于函数①，②，③，判断如下两个命题的真假： 命题甲：是偶函数； 命题乙：在上是减函数，在上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ） Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．② Ｄ．③ 例3,.已知f（x）是奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）＝lg，那么当x∈（－1，0）时， f（x） 的表达式是_____。 练习：设是定义在上的奇函数，且，又当时，，求：当时，求的解析式。 例4已知函数为R上的减函数，则满足的实数的取值范围 是 （ ） A. B. C. D. 例5（1）已知偶函数在区间单调增加，则满足＜的x 取值范围是 ( ) （A）（，） B.［，） C.（，） D.［，） 例6 . 在上定义的函数是偶函数，且，若在区间 是减函数，则函数 （ ） A.在区间上是增函数，区间上是增函数 B.在区间上是增函数，区间上是减函数 C.在区间上是减函数，区间上是增函数 D.在区间上是减函数，区间上是减函数 例7设，又记则 ( ) A． B． C． D． 例8 求复合函数的单调性 求下列函数的单调性，并确定每一个单调区间上的单调性 （1） （2） （3） 例9 抽象函数性质 已知函数的定