浙大城院数学建模4.ppt

§ 4.4考虑年龄结构的人口模型(Leslie模型) 对Logistic模型的批评意见除了实际统计时常采用离散变化的时间变量外，另一种看法是种群增长不应当只和种群总量有关，也应当和种群的年龄结构有关。不同年龄的个体具有不同的生育能力和死亡率，这一重要特征没有在Logistic模型中反映出来。基于这一事实，Leslie在20世纪40年代建立了一个考虑种群年龄结构的离散模型。 由于男、女性人口(或雌、雄性个体)通常有一定的比例，为了简便起见，建模时可以只考虑女性人数，人口总量可以按比例折算出来。将女性按年龄划分成m+1个组，即0,1,…,m组，例如，可5岁(或10岁)一组划分。将时间也离散成间隔相同的一个个时段，即5年(或10年)为一个时段。 记j时段年龄在i组中的女性人数为N(i,j)，bi为i组每一妇女在一个时段中生育女孩的平均数，pi为i组女性存活一时段到下一时段升入i+1组的人数所占的比例(即死亡率di=1-pi)同时假设没有人能活到超过m组的年龄。实际上可以这样来理解这一假设，少量活到超过m组的妇女(老寿星)人数可以忽略不计，她们早已超过了生育期，对人口总量的影响是微小的而且是暂时性的，对今后人口的增长和人口的年龄结构不产生任何影响，假设bi、pi不随时段的变迁而改变，这一假设在稳定状况下是合理的。如果研究的时间跨度不过于大，人们的生活水平、整个社会的医疗条件及周围的生活环境没有过于巨大的变化，bi、pi事实上差不多是不变的，其值可通过统计资料估算出来。 根据以上假设可以得出以下j+1时段各组人数与j时段各组人数之间的转换关系： 显然， 简记 并引入矩阵 则方程组(4.28)可简写成 矩阵A被称为Leslie矩阵(或射影矩阵)，当矩阵A与按年龄组分布的初始种群向量N0=(N(0,0)， N(1,0)， … ，N(m,0))T一经给定时，其后任一时段种群按年龄分布的向量即可用(4.29)式迭代求得 人口(或种群)的增长是否合理不仅仅取决于人口的总量是否过多或过少，还取决于整个的年龄结构是否合理即各年龄段人口数的比例是否恰当。通过对Leslie矩阵A的研究，可以得到许多十分有用的信息。 女性有一定的生育期，例如k组以后的女性不再生育，则有bk≠0，bk+1，…，bm均为零(初始若干个bi也可能为零)，此时A可简记为 其中A1和A2分别为k+1阶和m-k阶方阵，于是 因为A3是一个下三角阵且对角元素全为零，由高等代数中的哈密顿一凯莱定理，当j≥m-k时必有 ，此时Aj的最后m-k列均为零向量。其实际意义为t=0时已超过育龄的女性，其目前的存在对若干年后的人口分布已毫无影响，她对人口发展的贡献将由她在此前所生育的女孩来完成，这一点当然是十分显然的。f(A1,A2,A3)为某一用A1、A2、A3表达的表示式，Aj的这一子块较为复杂，并直接反映出k+1组以后各组的年龄结构，对它的讨论可以导出避免社会老龄化的条件。 现在，我们来研究一下Leslie矩阵，并进而研究时间充分长后种群的年龄结构及数量上的趋势。 容易看出A1是非奇异的，因为 事实上，不难直接验证： 由Aj的分块结构可知，对A1及Nj+1的前k+1个分量 也成立。为叙述方便，不妨仍记 为Nj，并记A1为A，简略讨论一下前k+1组人口数量的变化情况。 由于人口生育率和死亡率与年龄之间存在着固定的关系，可以预料，经过足够多年后，人口年龄分布应趋于稳定的比率，即下时段初与本时段初同组人数应当近似地对应或比率，且各组人数在总人口数中所占的比例应逐渐趋于稳定。现在我们来指出Leslie矩阵的一些性质，并证明这些预料是正确的。 定理4.2 Leslie矩阵具有唯一的正特征根λ1,与之相应的特征向量为 证 直接计算可得A的特征多项式为 (4.1) 等价于 当λ由 时， 由 单调下降地趋于零，由此立即可以看出A具有唯一的正特征根λ1，(λ1被称为种群的固有增长率，其计算法有许多文献介绍)。 现求A的对应于λ1的特征向量，记 ，解线性方程组 ，即 (4.2) (4.2)式中只有k个独立方程，但有k+1个未知量，取 可求得 (4.3) 不难看出，当且仅当λ1=1时， ，人口总量将趋于定且各年龄人数在总人口数中所占的比例也将趋于一个定值。 在λ1固定的情况下， 只和pi有关(i=0,…,k-1)。pi为i组人的存活率，人们总希望它们越大越好，但由于医疗条件和医学水平的限止，在一定时期内 ，它们基本上是一些常数, 这样，事实上人们只能通过控制