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【例6.1】李明今年20岁,如果他能活到60岁,它将能从保险公司得到1000元的一次性给付。设年利率为6%,试写出这笔给付在李明20岁时的现值。
解:李明从20岁活到60岁的概率是,从20岁到60岁死亡的概率为(),如果活到60岁,他可以获得1000元给付,死亡则没有给付。因此,他获得给付的期望值为:
【例6.2】设nt,证明并解释下面两个式子:
(1)
(2)
证明:(1)
(2)将
两边同乘以,得:
【例6.3】张华今年30岁,从今年起,只要他存活,可以在每年年初获得1000元的生存给付,假设年利率为9%。计算这一年金的精算现值。
解:这是一个每年给付1000元的终身生存年金,每一次给付经过折现后在30岁时的价值总和合即为这笔年金在30岁时的精算现值。因此,给付的现值是:
【例6.4】某人今年45岁,花费10000元购买了一份年金产品,保单承诺从下一年开始,每年可以领到等额的给付,已知利率i=5%,一句附表中国人寿保险业经验生命表(1990-1993)(男女混合)的资料,试计算每年可以领取的金额。
解:这是一个期末负终身年金的例子,题目中已经给出了这份年金购买时的现值,要求计算年金每次的给付额。设每次的给付额为p,
有
而
故
P=661.03(元)
【例6.5】王明在40随时购买了一份年金产品,承诺在未来20年内,如果他存活,则可以在每年年初领取1000元的给付,一旦死亡,则给付立即停止。20年期满,保单自动中止,无论20年后是否存活,不再继续给付。以附表中国人寿保险业经验生命表(1990-1993)(男女混合)的资料,假设预定利率为i=6%,使计算这笔年金的精算现值。
解:其精算现值为:
=11882.82(元)
【例6.6】某人在30随时购买了一份年金,约定的给付为:从51岁起,如果被保险人生存,每年可以得到5000元的给付,直到被保险人死亡为止。设年利率为6%,存活函数为,试计算这笔年金在购买时的精算现值。
解:由存活函数可得生存概率:
又因为
因而这笔年金的精算现值为:
=12358.09(元)
【例6.7】对于(30)的从60岁起每年年初6000元的生存年金,预定利率为6%,以中国人寿保险业经验生命表(1990-1993)(男女混合)的资料,求保单的趸缴净现值。
解:有公式(6.13),保单的趸缴净保费为:
=10787.38(元)
【例6.8】某人在35随时购买了一份年金产品,这份年金将从他60岁退休起的25年内,每年年初给付5000元生存年金。给定利率为6%,根据中国人寿保险业经验生命表(1990-1993)(男女混合),计算这一年金的精算现值。
解:其精算现值为:
=11683(元)
【例6.9】某30岁的人投保养老保险,保险契约规定,如果被保险人存活的60岁,则确定给付10年年金,若被保险人在60——69岁间死亡,由其指定的受益人继续领取,知道领取满十年为止。如果被保险人在70岁仍然存活,则从70岁起以生存为条件得到年金。如果年仅每年年初支付一次,一次支付6000元,预定利率为6%,以中国人寿保险业经验生命表(1990-1993)(男女混合)资料,计算保单趸缴净保费。
解:趸缴净保费为:
【例6.10】如果一个x岁的人获得了一份每年1单位元的连续年金,试用随机变量y表示给付变量的现值。
用(x)的余寿随机变量T的函数表示y
利用y是T的函数这一条件计算年金的精算现值
死亡给付1单位元终身寿险的精算现值的随机变量是Z,给付Y也Z之间的关系。
利用(3)中的关系,用表示
解:(1)
(2)
(3)因为
所以
(4)
【例6.11】已知某人的生命具有常数死亡力,设利息力,试计算:
(1)
(2)超过的概率.
解:(1)已知死亡力,则
(2)
【例6.12】在例6.7中,若年金每月支付一次,求趸缴额。
解:趸缴净保费为:
【例6.13】某保单提供从60岁起每月500元的生存年金,如果被保险人在60岁前死亡,则在死亡年末给付10000元。设预定利率为6%,如果某人30岁时购买了这种保单,根据中国人寿保险业经验生命表(1990-1993)(男女混合)的资料,求这一年金的精算现值。
解:这一保单包括年金与寿险两种保险形式
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