第七次复数项级数、幂级数.ppt

* 第七讲　 复数项级数 复数项幂级数 1. 复数列的极限 2. 级数的概念 3. 级数收敛、绝对收敛、条件收敛 第 三 章 级 数 §3.1 复数项级数 1. 复数列的极限 定义 例如 2. 复数项级数的概念 （1）定义 设有复数列： 　 例如： （2）复数项级数收敛的等价条件： 证明 由定理1，复数项级数的收敛问题可归之为 　　 两个实数项级数的收敛问题。 （3）级数收敛的必要条件 （4）定义 例如： 例如： （5）绝对收敛级数的性质 证明 性质1. ? 性质2. 证明 性质3 性质4 解 例1 §3.2 复变函数项级数 1. 复变函数项级数的概念 2. 一致收敛的概念与性质 1. 复变函数项级数的概念 定义 设有复变函数列： 为复变函数项级数。 复变函数项级数的前n项的和 称为复变函数项级数的部分和。 命题： 2. 复变函数项级数一致收敛概念与性质 （1）定义： （2）性质： 性质（i） 性质（ii）（外尔斯特拉斯定理）： 证明： 见P81. 例2 证明复变函数项级数 在z平面上一致收敛。 例3 设复变函数项级数 见P108题2 1. 幂级数的概念 2. 收敛定理 3. 收敛圆与收敛半径 4. 收敛半径的求法 §3.3 幂级数 1. 幂级数的概念 例如： 2. 幂级数收敛定理 定理 (阿贝尔(Able)定理） . , , ) ( 0 0 1 级数必发散　 的 则对满足 发散 在 若幂级数 ⑵ z a z a z z z a z c n n n - - = - ? ￥ = 证明： 见P82。 3. 收敛圆与收敛半径 　　由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述 三种情况： (i)若对所有正实数都收敛，则幂级数在复平面上处处收敛。 (ii )除z=a外，对所有的正实数都是发散的，这时，幂级 数在复平面上除z=a外处处发散。 显然，? ?. 否则，幂级数将在?处发散。 将收敛部分染成红色，发散 部分染成蓝色，?逐渐变大， 在c?内部都是红色,?逐渐变 小，在c?外部都是蓝色， 红、蓝色不会交错。故 (i) 幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外 部发散，在圆周上可能有收敛点，也可能有发 散点，具体问题要具体分析。 定义　这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的 收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。 (ii) 幂级数的收敛范围是以a为中心，R为半径 的圆域。 4. 收敛半径的求法 比值法 （阿贝尔） 根值法 （柯西） 注： 对于“缺项”幂级数，也有相应的比值法与根值法。 例4 解 综上 例5 求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形: 解 (1) 综上 该级数发散。 该级数收敛， 故该级数在复平面上是处处收敛的. 例6 答案： 例7 求幂级数 的收敛半径与收敛圆. 答案： 例8 答案： 1.幂级数的和函数的解析性 2.解析函数展开成幂级数 3. 展开式的唯一性 §3.4 解析函数与幂级数