第三章_MATLAB线性方程组及矩阵特征值.ppt

§ 3.0预备知识 一、对角阵与三角阵 1. 对角阵：求矩阵的对角元素用diag(A)函数，其还有更进一步的形式diag(A,k)，其功能是提取第k条对角线的元素。 (1)提取矩阵的对角线元素 设A为m×n矩阵，diag(A)函数用于提取矩阵A主对角线元素产生一个具有min(m,n)个元素的列向量。 (2)构造对角矩阵 设V为具有m个元素的向量，diag(V)将产生一个m×m对角矩阵，其主对角线元素即为向量V的元素。 diag(V)函数也有更进一步的形式diag(V,k)，其功能是产生一个n×n(n=m+k)对角阵，其第k条对角线的元素即为向量V的元素。 例1.1 先建立5×5矩阵A，然后将A的第1行元素乘以1，第2行乘以2，…，第5行乘以5。 命令如下： A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;11,18,25,2,19]; D=diag([1,2,3,4,5]); A*D 2. 矩阵的三角阵 (1)下三角矩阵 求矩阵A的下三角阵的MATLAB函数是tril(A)。 tril(A)函数也有更进一步的一种形式，即tril(A,k)，其功能是求矩阵A的第k条对角线以下的元素。 (2)上三角矩阵 在MATLAB中，提取矩阵A的上三角矩阵的函数是triu(A)和triu(A,k)，其用法与提取下三角矩阵的函数tril(A)和tril(A,k)完全相同。 二、 特殊矩阵的生成 1.魔方矩阵 函数magic(n)，其功能是生成一个n阶魔方阵。 例1.2 将101～125等25个数填入一个5行5列的表格中，使其每行每列及对角线的和均为565。 命令如下： B=100+magic(5) 2.范得蒙矩阵 函数vander(V)生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵。 3.希尔伯特矩阵 生成希尔伯特矩阵的函数是hilb(n)。MATLAB中，有一个专门求希尔伯特矩阵的逆的函数invhilb(n)，其功能是求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵。 例:求4阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵。 命令如下： format rat % 以有理形式输出 H= hilb(3) invH=invhilb(3) 4.托普利兹矩阵 生成托普利兹矩阵的函数是toeplitz(x,y)，它生 成一个以x为第1列，y为第1行的托普利兹矩阵,除第一 行第一列外，其他每个元素都与左上角的元素相同。 这里x, y均为向量，二者不必等长。 例如 T=toeplitz(1:3) 5.帕斯卡矩阵 函数pascal(n)生成一个n阶的帕斯卡矩阵。 例1.3求(x+y)5的展开式。 在MATLAB命令窗口，输入命令： pascal(6) ans = 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 21 1 4 10 20 35 56 1 5 15 35 70 126 1 6 21 56 126 252 其次对角线上的元素1，5，10，10，5，1即为展开式的系数。 三、 矩阵结构变换 1. 矩阵的转置 转置运算符是单撇号()。 2. 矩阵的旋转 矩阵的旋转利用函数rot90(A,k)，功能是将矩阵A逆时针旋转90o的k倍，当k为1时可省略。 3. 矩阵的左右翻转 对矩阵A实施左右翻转的函数是fliplr(A)。 4. 矩阵的上下翻转 对矩阵A实施上下翻转的函数是flipud(A)。 四、 矩阵的逆与伪逆 1. 矩阵的逆 求一个矩阵的逆非常容易。求方阵A的逆可调用函数inv(A)。 例1.4 用求逆矩阵的方法解线性方程组。 命令如下： A=[1,2,3;1,4,9;1,8,27]; b=[5,–2,6]; x=inv(A)*b 一般情况下，用左除比求矩阵的逆的方法更有效，即x=A\b。 2. 矩阵的伪逆 MATLAB中，求一个矩阵伪逆的函数是pinv(A)。 如果矩阵A不是一个方阵，或者A是一个非满秩的方阵 时，矩阵A没有逆矩阵，但可以找到一个与A的转置矩 阵A‘同型的矩阵B，使得： A·B·A=A,B·A·B=B 此时称矩阵B为矩阵A的伪逆。