推荐2019高考数学大复习板块命题点专练十三文6.docVIP

板块命题点专练（十三） 命题点一　椭圆 命题指数：☆☆☆☆☆ 难度：高、中 题型：选择题、填空题、解答题 1．(2015·广东高考)已知椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．3 C．4 D．9 解析：选B　由左焦点为F1(－4,0)知c＝4．又a＝5， ∴25－m2＝16，解得m＝3或－3．又m＞0，故m＝3． 2．(2016·全国丙卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　) A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2) C．eq \f(2,3) D．eq \f(3,4) 解析：选A　如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)． 设E(0，m)， 由PF∥OE，得eq \f(|MF|,|OE|)＝eq \f(|AF|,|AO|)， 则|MF|＝eq \f(m?a－c?,a)．① 又由OE∥MF，得eq \f(\f(1,2)|OE|,|MF|)＝eq \f(|BO|,|BF|)， 则|MF|＝eq \f(m?a＋c?,2a)．② 由①②得a－c＝eq \f(1,2)(a＋c)，即a＝3c， ∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,3)． 故选A． 3．(2016·全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的eq \f(1,4)，则该椭圆的离心率为(　　) A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2) C．eq \f(2,3) D．eq \f(3,4) 解析：选B　不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为eq \f(x,c)＋eq \f(y,b)＝1，即bx＋cy－bc＝0．由题意知eq \f(|－bc|,\r(b2＋c2))＝eq \f(1,4)×2b，解得eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，即e＝eq \f(1,2)．故选B． 4．(2015·浙江高考)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0 )的右焦点F(c,0)关于直线y＝eq \f(b,c)x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________． 解析：设椭圆的另一个焦点为F1(－c,0)，如图，连接QF1，QF，设QF与直线y＝eq \f(b,c)x交于点M．由题意知M为线段QF的中点，且OM⊥FQ． 又O为线段F1F的中点， ∴F1Q∥OM，∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|． 在Rt△MOF中，tan∠MOF＝eq \f(|MF|,|OM|)＝eq \f(b,c)，|OF|＝c， 可解得|OM|＝eq \f(c2,a)，|MF|＝eq \f(bc,a)， 故|QF|＝2|MF|＝eq \f(2bc,a)，|QF1|＝2|OM|＝eq \f(2c2,a)． 由椭圆的定义得|QF|＋|QF1|＝eq \f(2bc,a)＋eq \f(2c2,a)＝2a， 整理得b＝c， ∴a＝eq \r(b2＋c2)＝eq \r(2)c，故e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)． 答案：eq \f(\r(2),2) 5．(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，点(2，eq \r(2))在C上． (1)求C的方程； (2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值． 解：(1)由题意得eq \f(\r(a2－b2),a)＝eq \f(\r(2),2)，eq \f(4,a2)＋eq \f(2,b2)＝1， 解得a2＝8，b2＝4． 所以C的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1． (2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)． 将y＝kx＋b代入eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1， 得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0． 故xM＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(－2kb,2k2＋1)，yM＝k·xM＋b＝eq \f(b,2k2＋1)． 于是直线OM的斜率kOM＝eq \f(yM,xM)＝－eq \f(1,2k)， 即kOM·k＝－eq \f(1,2)． 所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．