高考试卷汇编---几何证明选讲.docx

13.1 几何证明选讲 【选考内容要求】 （1）理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理. （2）会证明和应用以下定理：①直角三角形射影定理；②圆周角定理；③圆的切线判定定理与性质定理；④相交弦定理；⑤圆内接四边形的性质定理与判定定理；⑥切割线定理. 【高考试题汇编】 一、选择题(共0题) 二、填空题(共0题) 三、解答题(共12题) 1.【2007年海南宁夏理22文22】如图，已知是的切线，为切点，是 的割线，与交于两点，圆心在的内部，点是的中点． （Ⅰ）证明四点共圆； （Ⅱ）求的大小． （Ⅰ）证明：连结． 因为与相切于点，所以． 因为是的弦的中点，所以． 于是． 由圆心在的内部，可知四边形的对角互补，所以四点共圆． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得四点共圆，所以． 由（Ⅰ）得． 由圆心在的内部，可知． 所以． 2.【2008年海南宁夏理22文22】如图，过圆外一点作它的一条切线，切点为，过点作直线垂直直线，垂足为． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）为线段上一点，直线垂直直线，且交圆于点．过点的切线交直线于．证明：． 解：（Ⅰ）证明：因为是圆的切线，所以． OMAPNB O M A P N B K ． （Ⅱ）证明：因为是圆的切线，． 同（Ⅰ），有，又， 所以，即． 又， 所以，故． 3.【2009年海南宁夏理22文22】如图，已知的两条角平分线和相交于H，，F在上，且。 证明：B,D,H,E四点共圆： 证明：平分。 解： （Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°， 所以∠BAC+∠BCA=120°. 因为AD，CE是角平分线， 所以∠HAC+∠HCA=60°， 故∠AHC=120°. 于是∠EHD=∠AHC=120°. 因为∠EBD+∠EHD=180°， 所以B,D,H,E四点共圆. （Ⅱ）连结BH,则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD=30° 由（Ⅰ）知B,D,H,E四点共圆， 所以∠CED=∠HBD=30°. 又∠AHE=∠EBD=60°，由已知可得EF⊥AD， 可得∠CEF=30°. 所以CE平分∠DEF. 4.【2010年新课标卷理22文22】如图，已经圆上的弧，过C点的圆切线与BA的延长线交于E点，证明： （Ⅰ）∠ACE=∠BCD； （Ⅱ）BC2=BF×CD。 解： （I）因为， 所以. 又因为与圆相切于点，故， 所以. （II）因为, 所以∽，故， 即. 5.【2011年新课标卷理22文22】如图，，分别为的边，上的点，且不与的顶点重合。已知的长为，AC的长为n,，的长是关于的方程的两个根。 （Ⅰ）证明：，，，四点共圆； （Ⅱ）若，且，求，，，所在圆的半径。 解析：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中， 即.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB 所以C,B,D,E四点共圆。 （Ⅱ）m=4, n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.故 AD=2，AB=12. 取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH. 由于∠A=900，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= (12-2)=5. 故C,B,D,E四点所在圆的半径为5 6.【2012年新课标卷理22文22】如图，分别为边的中点，直线交 的外接圆于两点，若，证明： （1）； （2） 【解析】（1）， （2） 7.【2013年新课标卷1理22文22】如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。 （Ⅰ）证明：DB=DC； （Ⅱ）设圆的半径为1，BC= QUOTE ，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径。 7题 7题解析图 【解 析】（Ⅰ）为证明，可设法证明，为此连接交于（如图所示）．由“”可知，即是圆的直径，从而可知也是直角三角形．由于是和的公共边，因此只需再找出一组对应边即可． 由上述， 因为是圆的切线，为切点，所以，又因为平分，所以，于是有，故，进而由，即知，则． （Ⅱ）针对题目所求，应首先着手扩充数据信息，由（Ⅰ）知，且平分，设交于，则，且为中点．于是有，，设中点，连，有，据此可知，从而．以下只需证明，即可完成所求．由上述，，又，所以，因此的外接圆半径为． 【点评】（Ⅰ）分析出均为直角三角形后，由，及平分，即知，从而可得;（Ⅱ）充分关注数据特征是顺利证得的关键． 8.【2013年新课标卷