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参考
2008年北京市高考数学试卷(理科)
一、选择题(共8小题,每小题5分,满分40分)
1.已知全集,集合,那么集合等于( )
A. B. C. D.
2.若,则( )
A. B. C. D.
3. “函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.若点到直线的距离比它到点的距离小,则点的轨迹为( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
5.若实数满足则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.已知数列对任意的满足,且,那么等于( )
A. B. C. D.
7.过直线上的一点作圆的两条切线,当直线关于对称时,它们之间的夹角为( )
A. B. C. D.
【考点】圆的切线方程.
【专题】压轴题.
【分析】过圆心作直线的垂线交于点,过点作圆的切线能够满足条件,不难求出夹角为。明白点后,用图象法解之也很方便。
【解答】圆的圆心,过与垂直的直线方程:,它与的交点,到距离是,两条切线,它们之间的夹角为。故选C.
师补充:由切线长定理,关于直线对称,由已知,得直线
与直线垂直,故得,从而得与
的交点,而,半径为,得
的夹角为。
8.如图,动点在正方体的对角线上。过点作垂直于平面的直线,与正方体表面相交于。设,则函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.
【专题】压轴题.
【分析】只有当移动到正方体中心时,有唯一的最大值,则淘汰选项点移动时,的关系应该是线性的,则淘汰选项D.
【解答】设正方体的棱长为,显然,当移动到对角线的中点时,函数取得唯一最大值,所以排除A、C;
当在上时,分别过作底面的垂线,垂足分别为,
则是一次函数,所以排除D。故选B.
【点评】本题考查直线与截面的位置关系、空间想象力及观察能力,同时考查特殊点法、排除法。
解:如图,分别为的中点,,
,在平面中,作的平行线
,即满足已知条件。当时,
,得;
当时,,得
,分段函数,故选B。
二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分)
9.已知,其中是虚数单位,那么实数 。
10.已知向量与的夹角为,且,那么的值为 。
【分析】向量数量积运算,三种方法:一定义,二坐标,三是数形结合。
11.若展开式的各项系数之和为,则 ,其展开式中的常数项为 。(用数字作答)
12.如图,函数的图象是折线段,其中的坐标分别为,则 ; 。(用数字作答)
【分析】由函数的图象可知,,当,,所以由导数的几何意义知。
13.已知函数,对于上的任意,有如下条件:
①;②;③。
其中能使恒成立的条件序号是 。
【考点】函数奇偶性的性质;导函数确定单调性。
【专题】压轴题.
【分析】函数是个偶函数,由于,在上,可推断出函数在轴两边是左减右增,此类函数的特点是自变量离原点的位置越近,则函数值越小,欲使恒成立,只需到原点的距离比到原点的距离大即可,由此可得出,在所给三个条件中找符合条件的即可。
【解答】函数在上为单调增函数,由偶函数性质知函数在上为减函数。
当时,得,∴,由函数在上为偶函数得,故②成立。
∵,而,∴①不成立,同理可知③不成立.故答案是②。故应填②
【点评】本题考查函数的性质奇偶性与单调性,属于利用性质推导出自变量的大小的问题,本题的解题方法新颖,判断灵活,方法巧妙。
14.某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如下:第棵树种植在点处,其中,当时,。 表示非负实数的整数部分,例如。按此方案,第6棵树种植点的坐标应为 ;第2009棵树种植点的坐标应为 。
【考点】数列的应用.
【专题】压轴题;规律型.
【分析】由题意可知,数列为;
数列为由此入手能够得到第6棵树种植点的坐标和第2009棵树种植点的坐标。
【解答】∵组成的数列为
一一代入计算得数列为
即的重复规律是。。
数列为
即的重复规律是。
∴由题意可知第6棵树种植点的坐标应为;第2009棵树种植点的坐标应为。
【点评】本题考查数列的性质和应用,解题时要注意创新题的灵活运用。
师补充:答案抽象。
…,周期数列,周期为5,故得。
三、解答题(共6小题,满分80分)
15.(13分)已知函数的最小正周期为。
⑴求的值;
⑵求函数在区间上的取值范围。
【略解】⑴,,解得。
⑵由⑴得。
∵,∴,∴,
∴,即的取值范围为。
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