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第45章 阅读理解型
1. (2011江苏南京,28,11分)
问题情境
已知矩形的面积为a(a为常数,a>0),当该矩形的长为多少时,它的周长最小?最小值是多少?
数学模型
设该矩形的长为x,周长为y,则y与x的函数关系式为.
探索研究
⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验,先探索函数的图象性质.
填写下表,画出函数的图象:
x
……
1
2
3
4
……
y
……
……
1
1
x
y
O
1
3
4
5
2
2
3
5
4
(第28题)
-1
-1
②观察图象,写出该函数两条不同类型的性质;
③在求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大(小)值时,除了通过观察图象,还可以通过配方得到.请你通过配方求函数(x>0)的最小值.
解决问题
⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题,直接写出答案.
【答案】解:⑴①,,,2,,,.
函数的图象如图.
②本题答案不唯一,下列解法供参考.
当时,随增大而减小;当时,随增大而增大;当时函数的最小值为2.
③
=
=
=
当=0,即时,函数的最小值为2.
⑵当该矩形的长为时,它的周长最小,最小值为.
2. (2011江苏南通,27,12分)(本小题满分12分)
已知A(1,0), B(0,-1),C(-1,2),D(2,-1),E(4,2)五个点,抛物线y=a (x-1)2+k(a>0),经过其中三个点.
求证:C,E两点不可能同时在抛物线y=a (x-1)2+k(a>0)上;
点A在抛物线y=a (x-1)2+k(a>0)上吗?为什么?
求a和k的 值.
【答案】(1)证明:将C,E两点的坐标代入y=a (x-1)2+k(a>0)得,
,解得a=0,这与条件a>0不符,
∴C,E两点不可能同时在抛物线y=a (x-1)2+k(a>0)上.
(2)【法一】∵A、C、D三点共线(如下图),
∴A、C、D三点也不可能同时在抛物线y=a (x-1)2+k(a>0)上.
∴同时在抛物线上的三点有如下六种可能:
①A、B、C;
②A、B、E;
③A、B、D;
④A、D、E;
⑤B、C、D;
⑥B、D、E.
将①、②、③、④四种情况(都含A点)的三点坐标分别代入y=a (x-1)2+k(a>0),解得:①无解;②无解;③a=-1,与条件不符,舍去;④无解.
所以A点不可能在抛物线y=a (x-1)2+k(a>0)上.
【法二】∵抛物线y=a (x-1)2+k(a>0)的顶点为(1,k)
假设抛物线过A(1,0),则点A必为抛物线y=a (x-1)2+k(a>0)的顶点,由于抛物线的开口向上且必过五点A、B、C、D、E中的三点,所以必过x轴上方的另外两点C、E,这与(1)矛盾,所以A点不可能在抛物线y=a (x-1)2+k(a>0)上.
(3)Ⅰ.当抛物线经过(2)中⑤B、C、D三点时,则
,解得
Ⅱ. 当抛物线经过(2)中⑥B、D、E三点时,同法可求:.
∴或.
3. (2011四川凉山州,28,12分)如图,抛物线与轴交于(,0)、(,0)两点,且,与轴交于点,其中是方程的两个根。
(1)求抛物线的解析式;
(2)点是线段上的一个动点,过点作∥,交于点,连接,当的面积最大时,求点的坐标;
(3)点在(1)中抛物线上,点为抛物线上一动点,在轴上是否存在点,使以为顶点的四边形是平行四边形,如果存在,求出所有满足条件的点的坐标,若不存在,请说明理由。
y
y
x
O
B
M
N
C
A
28题图
【答案】
(1)∵,∴,。
∴,。
又∵抛物线过点、、,故设抛物线的解析式为,将点的坐标代入,求得。
∴抛物线的解析式为。
(2)设点的坐标为(,0),过点作轴于点(如图(1))。
∵点的坐标为(,0),点的坐标为(6,0),
∴,。
∵,∴。
∴,∴,∴。
∴
。
∴当时,有最大值4。
此时,点的坐标为(2,0)。
(3)∵点(4,)在抛物线上,
∴当时,,
∴点的坐标是(4,)。
如图(2),当为平行四边形的边时,,
∵(4,),∴ LINK Word.Document.8 C:\\Documents and Settings\\Administrator\\桌面\\凉山\\复件 2011四川凉山州中考数学(word,含答案) .doc OLE_LINK4 \a \r 错误!链接无效。。
∴,。
如图(3),当为平行四边形的对角线时,设,
则平行四边形的对称中心为(,0)。
∴的坐标为(,4)。
把(,4)代入,得。
解得 。
,。
yx
y
x
O
B
M
N
C
A
图(1)
H
y
x
O
B
E
A
图(2)
D
y
y
x
O
B
E
A
图(3)
D
4. (2011江苏苏州,28,9分)(本题满分9分)如图①,小慧同学吧一个正三角形纸片(即△OAB)放在直线l1上,OA边与
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