动量本征函数.ppt

量子力学 光电子学科与工程学院 王可嘉 第九讲 力学量完全集与守恒量 中心力场的径向方程 目录 一、态叠加原理与力学量完全集 二、守恒量与力学量完全集 三、守恒量与能级简并 四、中心力场的径向方程 一、态叠加原理与力学量完全集（1） 一、态叠加原理与力学量完全集（2） 一、态叠加原理与力学量完全集（3） 一、态叠加原理与力学量完全集（4） 一、态叠加原理与力学量完全集（5） 一、态叠加原理与力学量完全集（6） 一、态叠加原理与力学量完全集（7） 一、态叠加原理与力学量完全集（8） 二、守恒量与力学量完全集（1） 二、守恒量与力学量完全集（2） 二、守恒量与力学量完全集（3） 三、守恒量与能级简并（1） 三、守恒量与能级简并（2） 四、中心力场的径向方程(2) 四、中心力场的径向方程(3) 四、中心力场的径向方程(4) 四、中心力场的径向方程(5) 四、中心力场的径向方程(6) 四、中心力场的径向方程(7) * * 1、态叠加原理的回顾 设算符 的本征函数和本征值为 和 ，描述体系状态的任一波函数可表示为: 其中 体系处在 的概率是 ， 且 2、波函数的展开 (1)、一维谐振子 能量本征值: 本征函数: 构成一组正交归一完备函数集 任一波函数 可表示为: 利用一维谐振子本征态：离散本征值情况展开 (2)、动量本征态（连续本征值情况展开） 动量本征函数: ，本征值： 按傅立叶定理，任何平方可积函数 均可展开为： 其中，展开系数为： 从态叠加原理出发： 是描述体系状态的一个波函数 (3)、一般情况（非简并情况） 设任意力学量算符 ，其本征函数和本征值为 和 。 若对任意 都不简并，则 可以构成一组正交归一完备的态矢量。因此系统的任意状态 均可展开为： 其中 体系处在 的概率是 ， 且 一个问题：若对任意 是简并的，情况如何？ (4)、简并情况下的波函数展开 例：一维自由粒子，哈密顿算符为： 本征态为： ，本征值： 任意本征值 和 为二重简并。 对任意波函数 ，一般情况： 原因为：因为属于同一个本征值的本征态之间的正交性得不到保证，即： 注意一维自由粒子的本征态 为哈密顿算符 的本征态，对于 来说，虽然对于 但是，可以寻找另外的算符 ，若 ，则有可能用 的本征值对 的共同本征函数 进行分类，从而使同一个 对应的简并态之间的正交性得到保证。问题是： 1、能找到这样的 吗？2、如何进行分类？ (5)、例：一维自由粒子 设 为宇称算符，不难证明 ，因此 和 拥有两个共同本征函数： 和 不简并 设 的本征值 和 ，可将它们划分为： 偶宇称： 奇宇称： 因为 和 是正交归一完备的， 有： 或 3、力学量完全集 设有一组彼此对易的厄米算符 ，它们拥有共同本征函数 ，若 构成正交归一完备集，使得任给体系的一个量子态 ，总有 ，则称 构成体系的一组力学量完全集。 例： 和 的共同本征态： 一组量子数的笼统记号 3、哈密顿算符与力学量完全集 寻找力学量完全集是个重要课题，可以证明： (1)若体系 的本征值不简并，其对应的本征函数就能构成正交归一完备集，此时 自身就构成体系的力学量完全集，如一维谐振子。 (2)若体系 的本征值简并，总可以找到其它的力学量，其算符 与 对易，而 构成体系的力学量完全集。体系任一量子态 ，都可以用它们的共同本征函数 来展开： 如一维自由粒子， 构成体系的力学量完全集。 1、力学量平均值的时间依赖特性（1） 设体系处于量子态下 ，算符 在 下的平均值为： 含时薛定谔方程： 1、力学量平均值的时间依赖特性（2） 2、守恒量与力学量完全集 若 有 若 有 在任何态 下的平均值 都不