非线性方程的数值的解法.ppt

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远在公元前1700年的古巴比伦人就已有关于一、二次方程的解法。《九章算术》(公元前50~100年)其中“方程术”有联立一次方程组的一般解法。 1535年意大利数学家坦特格里亚(TorTaglia)发现了三次方程的解法,卡当(H·Cardano)从他那里得到了这种解法,于1545年在其名著《大法》中公布了三次方程的公式解,称为卡当算法。 后来卡当的学生弗瑞里(Ferrari)又提出了四次方程的解法。此成果更激发了数学家们的情绪,但在以后的二个世纪中,求索工作始终没有成效,导致人们对高次代数方程解的存在性产生了怀疑。 1799年,高斯证明了代数方程必有一个实根或复根的定理,称此为代数基本定理,并由此可以立刻推理n次代数方程必有n个实根或复根。 但在以后的几十年中仍然没有找出高次代数方程的公式解。一直到18世纪,法国数学家拉格朗日用根置换方法统一了二、三、四方程的解法。 但求解五次方程时未能如愿,开始意识到有潜藏其中的奥妙, 用现代术语表示就是置换群理论问题。 在继续探索5次以上方程解的艰难历程中,第一个重大突破的是挪威数学家阿贝尔(N·Abel1802-1829) 1824年阿贝尔发表了“五次方程代数解法不可能存在”的论文,但并未受到重视,连数学大师高斯也未理解这项成果的重要意义。 1828年17岁的法国数学家伽罗华(E·Galois 1811-1832)写出了划时代的论文“关于五次方程的代数解法问题”,指出即使在公式中容许用n次方根,并用类似算法求五次或更高次代数方程的根是不可能的 文章呈交法兰西科学院后,因辈份太低遭到冷遇,且文稿丢失。1830年伽罗华再进科学院递稿,得到泊松院士的判词“完全不能理解”。 后来伽罗华命运不佳,投考名校巴黎工科大学落榜,屈就高等师院,并卷入政事两次入狱,被开除学籍,又决斗受伤,死于1832年。决斗前,他把关于五次代数求解的研究成果写成长信,留了下来。 十四年后,法国数学家刘维尔(J·Liouville)整理并发表了伽罗华的遗作,人们才意识到这项近代数学发展史上的重要成果的宝贵。 38年后,即1870年,法国数学家若当(C·Jordan)在专著《论置换与代数方程》中阐发了伽罗华的思想,一门现代数学的分支—群论诞生了。 在前几个世纪中,曾开发出一些求解代数方程的有效算法,它们构成了数值分析中的古典算法。至于超越方程则不存在一般的求根方式。 本章介绍方程的迭代解法,它既可以用来求解代数方程,也可以用来解超越方程,并且仅限于求方程的实根。 运用迭代法求解方程的根应解决以下两个问题: 确定根的初值; 将进一步精确化到所需要的精度。 2.2 二分法 2.1.1确定有根区间的方法 为了确定根的初值,首先必须圈定根所在的范围, 称为圈定根或根的隔离。 在上述基础上,采取适当的数值方法确定具有一定 精度要求的初值。 对于代数方程,其根的个数(实或复的)与其次数 相同。至于超越方程,其根可能是一个、几个或无 解,并没有什么固定的圈根方法 求方程根的问题,就几何上讲,是求曲线 y=f (x)与 x轴交点的横坐标。 由高等数学知识知, 设f (x)为区间[a,b]上的单值连续, 如果f (a)·f (b)0 , 则[a,b]中至少有一个实根。如果f (x)在[a,b]上还是单调地递增或递减,则仅有一个实根。 (1) 画图法 画出y = f (x)的略图,从而看出曲线与x轴交点的 大致位置。 也可将f (x) = 0分解为?1(x)= ?2(x)的形式,?1(x) 与 ?2(x)两曲线交点的横坐标所在的子区间即为含根 区间。 例如 xlogx-1= 0 可以改写为logx=1/x 画出对数曲线y=logx,与双曲线y= 1/x,它们交 点的横坐标位于区间[2,3]内 (1) 画图法 例1 方程f(x)=x3-x-1=0 确定其有根区间 解:用试凑的方法,不难发现 f(0)0 f(2)0 在区间(0,2)内至少有一个实根 设从x=0出发,取h=0.5为步长向右进行根的 有哪些信誉好的足球投注网站,列表如下 用逐步有哪些信誉好的足球投注网站法进行实根隔离的关键是选取步长h 要选择适当h ,使之既能把根隔离开来,工作量 又不太大。 为获取指定精度要求的初值,可在以上隔离根的 基础上采用对分法继续缩小该含根子区间 二分法可以看作是有哪些信誉好的足球投注网站法的一种改进。 2.3 迭代法 2.3 迭代法 2.4 牛顿迭代法 2.4.3 牛顿迭代法的收敛性 例2.11 用牛顿迭代法求 x=e-x的根,ε=10-4 解:因 f (xk)= x ex –1 , f ′(xk)=ex ( x+1) 建

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