定积分在物理学应用.ppt

第三节 一、变力沿直线所作的功 例2. 二、水压力 说明: 三、引力 说明: 四、转动惯量 (补充) 例8. 五、小结 思考与练习 2. 设星形线 同理 * 一、 变力沿直线所作的功 二、 液体的侧压力 三、 引力问题 定积分在物理学上的应用 第六章 四、 转动惯量 (补充) 解 功元素 所求功为 如果要考虑将单位电荷移到无穷远处 体, 求移动过程中气体压力所 解: 由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从 点 a 处移动到点 b 处 (如图), 作的功 . 建立坐标系如图. 由波义耳—马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比 , 即 功元素为 故作用在活塞上的 所求功为 力为 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 点击图片任意处播放\暂停 解 建立坐标系如图 这一薄层水的重力为 功元素为 (千焦)． 解 设木板对铁钉的阻力为 第一次锤击时所作的功为 例4 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？ 设 次击入的总深度为 厘米 次锤击所作的总功为 依题意知，每次锤击所作的功相等． 次击入的总深度为 第 次击入的深度为 解 在端面建立坐标系如图 当桶内充满液体时, 小窄条上的压强为 侧压力元素 故端面所受侧压力为 奇函数 解 建立坐标系如图 面积微元 解 建立坐标系如图 将典型小段近似看成质点 小段的质量为 小段与质点的距离为 引力 水平方向的分力元素 由对称性知，引力在铅直方向分力为 2) 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处 1) 当细棒很长时,可视 l 为无穷大 , 此时引力大小为 方向与细棒垂直且指向细棒 . 移到 b (a b) 处时克服引力作的功, 则有 引力大小为 注意正负号 3) 当质点位于棒的左端点垂线上时, 质量为 m 的质点关于轴 l 的转动惯量为 的质点系 若考虑物体的转动惯量 , 则需用积分解决 . 关于轴 l 的转动惯量为 ⑴ 求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量 ; ⑵ 求圆盘对直径所在轴的转动惯量 . 解: ⑴ 建立坐标系如图. 设圆盘面密度为? . 小圆环质量 对应于 的小圆环对轴 l 的转动惯量为 故圆盘对轴 l 的转动惯量为 设有一个半径为 R , 质量为 M 的均匀圆盘 , 平行 y 轴的细条 关于 y 轴的转动惯量元素为 细条质量: 故圆盘对y 轴的转动惯量为 ⑵ 取旋转轴为 y 轴, 建立坐标系如图. (1) 先用微元分析法求出它的微分表达式 dQ 一般微元的几何形状有: 扇、片、壳 等. (2) 然后用定积分来表示整体量 Q , 并计算之. 1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤: 2.定积分的物理应用: 变力作功 , 侧压力 , 引力, 转动惯量等. 条、段、环、带、 思考题 一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？ 思考题解答 该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压力大于上半球面），其值为该球排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力．因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关． (99考研) 提示: 作 x 轴如图. 1.为清除井底污泥, 用缆绳将抓斗放入井底, 泥后提出井口, 缆绳每 在提升过程中污泥 以20N /s 的速度从抓斗缝隙中漏掉, 现将抓起污泥的抓斗提升到井口, 抓斗抓起的污泥重2000N , 提升速度为3m /s , 问 克服重力需作多少焦耳( J ) 功? 已知井深30 m , 抓斗自重400N , 将抓起污泥的抓斗由 抓起污 x 提升 dx 所作的功为 米重50N , 提升抓斗中的污泥: 井深 30 m, 抓斗自重 400 N, 缆绳每米重50N, 抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度为3m∕s, 污泥以 20N∕s 的速度从抓斗缝隙中漏掉 克服缆绳重: 抓斗升至 x 处所需时间 : 克服抓斗自重: 上每一点处线密 度的大小等于该点到原点距离的立方, 提示: 如图. 在点O 处有一单 位质点 , 求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.