根的存在性证明零点定理.docVIP

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2019-10-25 发布于上海
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根的存在性证明零点定理.doc

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根的存在性定理：如果在闭区间[a,b]上连续。证明利用构造法的思想，将的零点范围逐步缩小。先将[a,b]二等分为，如果。则定理获证。如果，则f(a)和f(b)中必然有一个与异号，记这个小区间为[],它满足。又将[]二等分，考虑中点的函数值，要么为零，要么不为零。如果中点的函数值为零，则定理获证。如果中点的函数值不为零，那么必然可以选出一个小区间，使得f(x)在这个区间的端点值异号，记这个小区间为，它满足[a,b][]，。采用这样的方法一直进行下去，或者到有限步时，某个区间的中点的函数值为零，这样定理的结论成立。或者所有区间的中点的函数值不为零，那么我们就会得到一个无穷的区间序列{}，它满足:① [a,b][]；②；③。由单调有界定理，可以得到，如果，则定理获证。如果，因为f(x)在点连续，因而由连续函数的局部保号性：存在一个，使得f(x)在上与同号。根据所构造的区间的性质②，存在正整数N，当nN时，。根据区间的性质③，，矛盾。综上所述，只有，且。定理获证。注：上面采用的证明方法是非常有用的二分法，其思想可以广泛的应用于各个领域，而实际上是函数零点的近似值。