第一章-仿射几何解析.ppt

* 高等几何电子教案 §1.1平行射影与仿射对应 一.两直线间的平行射影与仿射对应 A B C D 1.平行射影或透视仿射： 若直线 且 , ， ≠ ≠ , 点A,B,C,D…… ,过点A,B,C,D……作直线的平行线交于 ……，则可得直线 到直线 的一个映射。 称为平行射影或透视仿射，记为 T A B C D 原象点： A,B,C,D…… 直线a上的点 平行射影的方向：直线 透视仿射与方向有关，方向变了，则得到另外的透视仿射 O 点 O 为自对应点( 同一平面上两相交直线的公共点 ) 映象点： …… 直线上 的点 记透视仿射T： ……… 2.仿射（或仿射变换）： 仿射是透视仿射链或平行射影链 表示透视仿射链，T表示仿射 （如图） …… …… …… 仿此，每一个对应点都可以这样表示。 注： 1.仿射是有限回的平行射影组成的 2.判断仿射是否是透视仿射的方法：对应点的联线是否平行 3.书写的顺序与平行射影的顺序是相反的 二 . 两平面的平行射影与仿射对应： 1.平行射影： 如图 点A,B,C共线a，则 共线 g A B C a l 两相交平面的交线为自对应点的集合即对应轴 平面到平面的仿射是有限回平行射影的积组成的，是透 视 仿射链 性质： 1.透视仿射保留同素性.（几何元素保留同一种类而不改变） 即点对应点，直线对应为直线. 2.保留点与直线的结合性 2仿射： §1.2仿射不变性与不变量 定义1 仿射不变性与不变量：经过一切透视仿射不变的性质和数量 仿射图形：经过任何仿射对应不改变的图形. 仿射性：经过任何仿射对应不改变的性质. 仿射量：经过任何仿射对应不改变的数量. 定理1： 两直线间的平行性是仿射不变性.（反证法） 推论 平行四边形是仿射不变的图形. 定义2 简比： 设A,B,C为共线三点，这三点的简比（ABC）定义为以下有向线段的比： 当点 C 在线段 AB 上时，(ABC)0 当点 C 在线段 AB或 BA的延长线上时， 当点 C 与点A重合时， 当点 C 与点B重合时， 当点 C 为线段 AB的中点时，(ABC)= -1 则点C称为分点，A,B 两点称为基点 简比(ABC)等于点C分割线段AB的分割比的相反数 例1 经过点A(-3, 2)和B(6, 1)两点直线被直线x+3y-6=0截于P点，求简比（ABP） 解: 设 (ABC)?0 (ABC)=0 (ABC)不存在 定理2 共线三点的简比是仿射不变量. 定理3 两平行线段之比是仿射不变量. ∴点P在直线x+3y-6=0上. A B C = = 要证: A B C D E 证明: 如图,作DE AC, = = ∵简比是仿射不变量 ∴ 定理4 一直线上两线段之比是仿射不变量. 定理5 在透视仿射下，任何一对对应点到对应轴的距离之比是一个常数 g A B C 证明: 设T为 到 的一个透视仿射,如图 并且 则 = 若AB g, = = g ,则显然成立. 若AB g, = g, = 过A, , B , 分别引轴g的垂线 垂足分别为 由相似三角形得: 定理2 任意两个三角形面积之比是仿射不变量. 证明: 分两种情形 特殊情形:有两对对应点在对应轴g上并且重合.如图 A B C g 一般情形:如图 对应三角形的三对对应顶点都不在对应轴上,△ABC与 对应,三对对应边相交于对应轴g上. A B C g X Y Z 由 的证明可得: 推论1 在仿射变换下，任何一对对应多边形面积之比是仿射不变量 推论2 在仿射变换下，任何两条封闭凸曲线所围成的面积之比是仿射不变量 §1.3平面内的仿射变换及其决定 一.平面内的透视仿射 设 为平面 到平面 的透视仿射，射影方向为 . 设 为平面 到平面 的透视仿射，射影方向为 . 则 ? g A B 设 ?T将 上的点 A变换为其本身上的点 ?T将 上的点 B变换为其本身上的点 a ?T将 上的点 变换为 上的点,将 上的直线 a 变换为 上的直线 ,即 T 保留同素性和接合性 . ?T将 上的相交直线 a, b 变换为 上的相交直线 . ?T将 上的平行直线 变换为 上的平行直线 . 和 的交线g上的每一点经过T不变，且T具有仿