数值积分及matlab 实现.ppt

例11 分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯 公式计算定积分 的近似值 (计算结果取5位有效数字) (1) 用梯形公式计算 (2) 用辛卜生公式 (3) 用柯特斯公式计算，系数为 积分的准确值为 可见，三个求积公式的精度逐渐提高。 例12 用辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分 的近似值,并估计其误差(计算结果取5位小数) 解: 辛卜生公式 由于 由辛卜生公式余项 知其误差为 例12 用辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分 的近似值,并估计其误差(计算结果取5位小数) 解:柯特斯公式 知其误差为 例12 用辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分 的近似值,并估计其误差(计算结果取5位小数) 该定积分的准确值 ,这个例子告诉我们，对于同一个积分，当n≥2时，公式却是精确的，这是由于辛卜生公式具有三次代数精度，柯特斯公式具有五次代数精度，它们对被积函数为三次多项式当然是精确成立的。 数值积分基本原理 求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。 数值积分的实现方法 1．变步长辛普生法 基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为： [I,n]=quad(fname,a,b,tol,trace) 其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。 例1 求定积分。 (1) 建立被积函数文件fesin.m。 function f=fesin(x) f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); (2) 调用数值积分函数quad求定积分。 [S,n]=quad(fesin,0,3*pi) S = 0.9008 n = 77 2．牛顿－柯特斯法 基于牛顿－柯特斯法，MATLAB给出了quad8函数来求定积分。该函数的调用格式为： [I,n]=quad8(fname,a,b,tol,trace) 其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的缺省值取10-6。该函数可以更精确地求出定积分的值，且一般情况下函数调用的步数明显小于quad函数，从而保证能以更高的效率求出所需的定积分值。 例2 求定积分。 (1) 被积函数文件fx.m。 function f=fx(x) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x)); (2) 调用函数quad8求定积分。 I=quad8(fx,0,pi) I = 2.4674 例3 分别用quad函数和quad8函数求定积分的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。 调用函数quad求定积分： format long; fx=inline(exp(-x)); [I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10) I = 0.28579444254766 n = 65 调用函数quad8求定积分： format long; fx=inline(exp(-x)); [I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10) I = 0.28579444254754 n = 33 3．被积函数由一个表格定义 在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。 例4 用trapz函数计算定积分。 命令如下： X=1:0.01:2.5; Y=exp(-X); %生成函数关系数据向量 trapz(X,Y) ans = 0.28579682416393 1.3 二重定积分的数值求解 使用MATLAB提供的dblquad函数就可以直接求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用格式为： I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace) 该函数求f(x,y)在[a,b]×[c,d]区域上的二重定积分。参数tol，trace的用法与函数quad完全相同。 例5 计算二重定积分 (1) 建立一个函数文件fxy.m： function f=fxy(x,y) global