含参量正常 积分.ppt

连续性定理 可微性定理 可积性定理 例题 上的连续函数, 则积分 确定了一个定义在[a, b]上的函数, 记作 x 称为参变量, 上式称为含参变量的积分. ⑴ 一般地，设 f (x, y ) 为区域 上的二元函数, c ( x ), d ( x ) 在 [ a, b ] 连续，定义 含参量的积分 下面讨论含参量积分的连续性、 可微性和可积性. 定理19.1 (连续性) 上连续, 则函数 在[a, b]上连续. 若 在矩形区域 分析 对任何 x ∈ [a, b], 要证： 连续性定理 就有 即 (积分号下取极限) 证 设 x, x+Δx ∈ [a, b], 在闭区域 R 上连续, 所以一致连续, 由于 即 只要 就有 就有 这说明 所以， 同理可证, 续, 则含参变量的积分 定理19.1 表明, 即在定理的条件下，极限运算与积分运算的顺序 是可交换的，或说可在积分号下取极限 . 若 上连续, 则 在矩形区域 在[a, b]上连续. 定理19.2（连续性） 如果函数 在区域 上连续，又函数 与 在区间 上连续， 则函数 在[ a, b ]上连续. 证 对积分用换元积分法，令 于是 从而 因为 在矩形 [ a, b ]×[ 0, 1 ] 上连续，由定理 19.1得 在 [ a, b ] 上连续 例1 求 解 记 因为 都是 的连续函数 所以 在 连续，从而 定理19.3 (可微性) 都在 可微性定理 （积分号下求导数) 分析: 要证： 即 使得当 时，有 对任意的 由拉格朗日中值定理，存在 使得 证: 所以 因此 从而一致连续，即 只要 ，有 因此 故 I ( x ) 在 x 可导，且 由 x 的任意性，及定理 19.1知I ( x ) 在 [a, b] 有连续的导函数. 在定理的条件下,求导和求积分可交换次序, 也说可在积分号下求导数 例2. 解: 考虑含参变量 t 的积分所确定的函数 显然, 于是由定理19.3 故 因此得 定理19.4（可微性） 如果函数 在矩形 上连续， 在 [ a, b ]上可微，且 证: 把 F ( x )看作复合函数： 由复合函数求导法则及变上限定积分的求导法则，有 例. 解: 例. 验证当 | x | 充分小时, 函数 的 n 阶导数存在, 且 证: 令 在原点的某个闭矩形邻域内连续, 由定理19.4 可得 即 同理 当 x = 0 时，有 定理19.5 (可积性) 上连续, 则函数 在[a, b]上可积. 若 在矩形区域 在[c, d]上可积. 可积性定理 记 统称为累次积分或二次积分. 问：累次积分与积分顺序有关吗？即是否有 定理19.6 上连续, 则 若 在矩形区域 证 记 其中 （积分交换顺序） 于是 所以 从而 ( k 为常数 ) 当 u = a 时， 于是，k = 0 即得 取 u = b , 就得 例4. 解: 由被积函数的特点想到积分: 内容小结 上连续, 则函数 在[a, b]上连续、可积. 若 在矩形区域 在[c, d]上连续、可积. 且 上连续, 则函数 在[a, b]上可微，且. 若 在矩形区域 在[c, d]上可微，且. 上连续, 则函数 若 在矩形区域