数学建模迭 代法.pptVIP

作业 每题分别用两种一步迭代法（要求写出迭代格式）： 1） Newton迭代法； 2）自己构造的非牛顿切线或割线法迭代格式（需讨论收敛性） 根据迭代格式用计算机（器）求下列非线性方程的根： 问题背景和研究目的 解方程（代数方程）是最常见的数学问题之一，也是众多应用领域中不可避免的问题之一。 求解一般非线性方程没有通用的解析方法，但如果 在任意给定的精度下，能够解出方程的近似解，则 可以认为问题已能够解决，至少可以满足实际需要。 本节主要介绍一些有效的求解方程的数值方法：二分法，迭代法 （ 牛顿法）。同时要求大家学会如何利用Matlab 来求方程的近似解。 2.6 非线性方程近似根 相关概念 如果 f(x) 是一次多项式，称上面的方程为线性方程； 否则称之为非线性方程。 线性方程 与 非线性方程 问题： 如何求连续的非线性方程 实根的近似值。 根的隔离 若函数 f(x) 在闭区间[a,b]上连续，且 f(a)f(b)0，则 f(x)在开区间 (a,b)内至少存在一个根。通过根的隔离，可假设此区间内存在唯一根 x*。 基本思想 二分法 将隔离区间进行对分，判断出解在某个子区间内，然后再对该子区间对分，依次类推，直到满足给定的精度为止。 适用范围 求有根区间内的 单根 或 奇数重实根。 数学原理：介值定理 设 f(x) 在 [a, b] 上连续，且 f(a) f(b)0，则由介值定理可得，在 (a, b) 内至少存在一点 ? 使得 f(?)=0。 算法 二分法 设方程在区间 [a,b] 内连续，且 f(a)f(b)0，给定精度要求 ? ，若有 |f(x)|? ，则 x 就是f(x) 在区间 (a,b) 内的 近似根。 收敛性分析 二分法收敛性 设方程的根为 x* ? (an , bn ) ，又 ，所以 0(n ?) 根据上面的算法，我们可以得到一个每次缩小一半的区间序列 {[an , bn ]} ，在 (an, bn ) 中含有方程的根。 二分法总是收敛的 二分法的收敛速度较慢 通常用来给出根的一个 较为粗糙的近似。 简单迭代法 基本思想 构造 f (x) = 0 的一个等价方程： 从某个初值 x0 出发，构造迭代格式 得到一个迭代序列 k = 0, 1, 2, ... ... ? (x) 的不动点 f (x) = 0 x = ? (x) 等价变换 f (x) 的零点 ?(x) 称为迭代函数 若 收敛，即 ，假设 ?(x) 连续，则 收敛性分析 迭代法的收敛性 即 注：若得到的点列发散，则迭代法失效！ 迭代法的收敛性判据 定理2.1：全局收敛 定理2.2：全局发散 定理2.3：局部收敛与发散 定理2.4：收敛速度 定义： 迭代法收敛性判断 如果存在 x* 的某个邻域 ? =(x*-? , x* +? ), 使得对 ? x0 ? ? 开始的迭代 xk+1 = ?(xk) 都收敛, 则称该迭代法在 x* 附近局部收敛。 定理 1： 设 ?(x) 在某个邻域 ? 内连续，且对 ?x?? 都有 |?’(x)|?L 1, 则迭代局部收敛。 迭代法收敛性判断 定理 2： 设 ，且 对 ? x?[a, b]，有 ?(x)?[a, b]； 对 ? x?[a, b]，有|?’(x)|?L 1； 则对 ?x0?[a, b] ，由迭代 xk+1 = ?(xk) 得到的点列都收敛（全局收敛），且 L 越小，迭代收敛越快 收敛阶 为了进一步研究收敛速度问题，引入阶的概念： 记 ，如果 ( p=1时还要求0c1) 则称迭代是p阶收敛的。 p=1时，称为线性收敛， p1时称为超线性收敛。 p越大收敛越快。 牛顿迭代法 令： 基本思想： 用线性方程来近似非线性方程，即采用线性化方法 设非线性方程 f (x)=0 , f (x) 在 xk 处作 Taylor 展开 牛顿迭代公式 k = 0, 1, 2, ... ... 牛顿迭代公式 牛顿法的优点 牛顿法是目前求解非线性方程 (组) 的主要方法 对于单重根迭代2阶收敛，收敛速度较快， 特别是当迭代点充分靠近精确解时。 牛顿法的缺点 对重根收敛速度只有线性收敛 对初值的选取很敏感，要求初值接近精确解 在实际计算中，如果要求高精度，可以先用其它方法（如二分法）获得精确解的一个粗糙近似，