两种经典最短路径问题Dijkstra和Floyd算法.ppt

* 最 短 路 径 问 题    Dijkstra算法和Floyd算法 * 主要内容 Floyd算法 Dijkstra算法 两个例子的求解 引例2：最廉价航费表的制定 引例1：最短运输路线问题 * 如图的交通网络，每条弧上的数字代表车辆在该路段行驶所需的时间，有向边表示单行道，无向边表示可双向行驶。若有一批货物要从1号顶点运往11号顶点，问运货车应沿哪条线路行驶，才能最快地到达目的地？ 引例1：最短运输路线问题 10 2 3 7 4 11 6 5 9 8 1 3 5 12 2 10 6 1 5 8 8 7 9 9 3 2 2 7 * 某公司在六个城市C1,C2,C3,C4,C5,C6都有分公司，公司成员经常往来于它们之间，已知从Ci到Cj的直达航班票价由下述矩阵的第i行，第j列元素给出（?表示无直达航班），该公司想算出一张任意两个城市之间的最廉价路线航费表。 引例2：最廉价航费表的制定 * 最短路径问题 定义：设P(u,v)是加权图G中从u到v的路径,则该路径上的边权之和称为该路径的权,记为w(P). 从u到v的路径中权最小者 P*(u,v)称为u到v的最短路径. 10 2 3 7 4 11 6 5 9 8 1 3 5 12 2 10 6 1 5 8 8 7 9 9 3 2 2 7 * 最短路径算法 Dijkstra算法 使用范围: 寻求从一固定顶点到其余各点的最短路径; 有向图、无向图和混合图; 权非负. 算法思路： 采用标号作业法,每次迭代产生一个永久标号, 从而生长一颗以v0为根的最短路树,在这颗树上每个顶点与根节点之间的路径皆为最短路径. 10 2 3 7 4 11 6 5 9 8 1 3 5 12 2 10 6 1 5 8 8 7 9 9 3 2 2 7 * Dijkstra算法——算法步骤 S: 具有永久标号的顶点集; l(v): v的标记; f(v):v的父顶点,用以确定最短路径; 输入加权图的带权邻接矩阵w=[w(vi,vj)]nxm. 初始化 令l(v0)=0,S=?;? v?v0 ,l(v)=?; 更新l(v), f(v) 寻找不在S中的顶点u,使l(u)为最小.把u加入到S中,然后对所有不在S中的顶点v,如l(v)l(u)+w(u,v),则更新l(v),f(v), 即 l(v)?l(u)+w(u,v),f(v)?u; 重复步骤2), 直到所有顶点都在S中为止. * MATLAB程序（Dijkstra算法） function [min,path]=dijkstra(w,start,terminal) n=size(w,1); label(start)=0; f(start)=start; for i=1:n if i~=start label(i)=inf; end, end s(1)=start; u=start; while length(s)n for i=1:n ins=0; for j=1:length(s) if i==s(j) ins=1; end, end if ins==0 v=i; if label(v)(label(u)+w(u,v)) label(v)=(label(u)+w(u,v)); f(v)=u; end, end, end v1=0; k=inf; for i=1:n ins=0; for j=1:length(s) if i==s(j) ins=1; end, end if ins==0 v=i; if klabel(v) k=label(v); v1=v; end, end, end s(length(s)+1)=v1; u=v1; end min=label(terminal); path(1)=terminal; i=1; while path(i)~=start path(i+1)=f(path(i)); i=i+1 ; end path(i)=start; L=length(path); path=path(L:-1