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PAGE PAGE 5 微分几何模拟卷A 一、判断题（正确打√，错误打×）（每小题2分，共10分） 1、等距变换一定是保角变换 ( ) 2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. ( ) 3、二阶微分方程总表示曲面上两族曲线. 4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的 ( ) 5、坐标曲线网是正交网的充要条件是，这里是第一基本量( ). 二、填空题（每小题3分，共15分） 半径为的圆的曲率为_________. 曲面的坐标曲线网正交的充要条件是_____________, 坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是______________. 在脐点处曲面的第一, 第二类基本量满足____________________, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是________________方向. 三、计算题（第1小题各18分，，第2、3、4小题各10分，共48分） 1、已知空间正则参数曲线 求基本向量. 求的曲率和挠率. 求抛物面在原点处的主曲率、高斯曲率和平均曲率，并判断原点是否为脐点. 设一个曲面的第一基本形式为求它上面两条曲线的交角. 4.确定螺旋面上的曲率线。 五、 证明题((每小题各9分，共27分) 1. 证明挠曲线(的曲线)的主法线曲面是不可展曲面. 2、证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量，那么这曲线是直线或平面曲线. 3、设在两条曲线Γ、的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。 微分几何模拟卷B 一、判断题（正确打√，错误打×）（每小题2分，共10分） 1、保角变换一定是等距变换 (　　　) 2、空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. (　　　) 3、坐标曲线网是正交网的充要条件是，这里是第一基本量(　　　) 4、高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. (　　　)5、测地曲率是内蕴量 (　　　) 二、填空题（每空3分共30分） 已知，，则 = 1 \* GB3 ① ， = 2 \* GB3 ② ， = 3 \* GB3 ③ ， = 4 \* GB3 ④ 2、已知曲面，，，则它的第一基本形式为 = 5 \* GB3 ⑤ ，第二基本形式为 = 6 \* GB3 ⑥ ，高斯曲率 = 7 \* GB3 ⑦ ，平均曲率 = 8 \* GB3 ⑧ ，点处沿方向的法曲率 = 9 \* GB3 ⑨ ，点处的两个主曲率分别为 = 10 \* GB3 ⑩ . 三、计算题（每小题12分共36分） 1、求曲面的渐近曲线. 已知曲面的第一基本形式为，，求坐标曲线的测地曲率. 3、求曲线 的曲率和挠率： 四、证明题（每小题12分，共24分） 设空间两条曲线和的曲率处处不为零，若曲线和可以建立一一 对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线和在对应点的切线夹固定角. 给出曲面上一条曲率线，设上每一点处的副法向量和曲面在该点的 法向量成定角. 求证是一条平面曲线. 微分几何模拟卷C 一、判断题(正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。每小题2分，共10分)1. 曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0. (　　　)2. 曲面上曲率线网一定存在. (　　　)3.存在第一类基本量E=1，F=-3，G=3的曲面 (　　　)4.高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量。 (　　　)5.曲面上的直线一定是测地线。 (　　　) 二、填空题(每小题3分，共15分)1.向量函数r=r(t)具有固定长的充要条件是_____________。2.曲线r=r(t)的挠率是_____________。3.曲面上曲纹坐标网是渐近网的充要条件_____________。4.直纹曲面的高斯曲率值满足_____________。5.球面上的测地线是_____________。 三、计算题（每小题10分共50分） 1、 求曲线 = { t,t,t } 在原点