全同粒子的基本概念1 全同粒子.ppt

全同粒子 主要介绍多粒子体系的量子力学基本原理。首先从全同粒子的基本概念出发，根据全同性原理，给出描述全同粒子体系的波函数；最后以氦原子为例讨论多粒子体系问题。 §6 全同粒子的基本概念 1 全同粒子： 静质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒 子被称作全同粒子。例如，电子、质子，中子等。 在经典力学中，粒子是用坐标和动量来描述，可以根 据各自的运动轨迹来区分。而在量子力学中，微观全同粒子 的状态是用波函数来描述，每个粒子的波函数弥散于整个空 间，即处于同一区域各粒子波函数重迭，对粒子无法加以区 分；另外，对全同粒子体系进行测量时，关心的是在空间某 点附近粒子出现的概率（或数目），而这个概率（或数目） 究竟属于体系中的哪几个，是无法确定的。即全同粒子具有 不可区分性，这是微观粒子的基本性质之一。 2 全同性原理： 由于全同粒子具有不可区分性，则在全同粒子体系 中，任意两个全同粒子相互交换后并不会引起整个体系物理 状态的改变，即不会出现任何可观测的物理效应，该论断称 为量子力学中的全同性原理。这是量子力学基本原理之一。 3 哈密顿算符的交换对称性 考虑N个全同粒子组成的体系， 表示第i个粒子的空 间坐标 与自旋变量 ， 表示 第i个粒子在外场中 的能量， 表示第i、j粒子的相互作用能量，则体系的 哈密顿算符 写为 任何两个粒子（如第i个与第j个）相互交换后，显然 是不变的，记为 称为交换算符，它同时交换两个粒子的坐标和自旋，哈 密顿算符的这种交换对称性又可记为 4 全同粒子波函数的交换对称性 （1） 对波函数的作用 设N个全同粒子体系用波函数 描述，则有 根据全同性原理， 与 所描述的是同一量子态，而量 子力学中描述同一量子态的波函数之间最多只能相差一个常 数因子 ，即 上式用 再作用一次，相当于 中的交换复原，即 由此得 ，所以交换算符的本征值为 （2）波函数的交换对称性 当λ＝+1时，则 ，表示交换两个粒子后波函数 不变，这时的波函数称为对称波函数，记为 。 当λ＝-1时，则 ，表示交换两个粒子后波函数 变号，这时的波函数称为反对称波函数，记为 。 可见，描述全同粒子体系的波函数对于任何两个粒子的交 换，或者是对称的，或者是反对称的。这一性质称为全同粒 子波函数的交换对称性。不具有交换对称性的波函数是不能 描述全同粒子体系的。 另外，由于 ，可见 是守恒量，即全同粒子体系 波函数的交换对称性不隨时间而变化，即统计特性不变。 5 全同粒子的分类 实验表明，全同粒子体系波函数的交换对称性，与粒 子的自旋有确定的联系。 （1）凡是自旋为 整数倍的粒子 所组成的 全同粒子体系，其波函数对于交换两个粒子总是对称的。例 如， 介子 ，α粒子（S＝0），基态的He(S=0)，光 子（S＝1）。它们在统计物理中遵从玻色(Bose) —爱因斯 坦(Einstein)统计规律，称为玻色（Bose）子。 （2）凡是自旋为 半奇数倍的粒子 ，所 组成的全同粒子体系，其波函数对于交换两个粒子总是反对 称的。例如，电子、质子、中子等，S＝1/2，它们在统计物 理中遵从费米（Fermi） —狄拉克(Dirac) 统计规律，称为 费米（Fermi）子。 §7 全同粒子体系的波函数 介绍如何由单粒子波函数来组成全同粒子体系的具有交 换对称性的波函数 1 两个全同粒子体系的波函数 假设两个全同粒子组成的体系，其中单个粒子的哈密 顿算符为 , 归一化本征函数为 , 本征值为 ，则应有 对于全同粒子， 在形式上是完全相同的，不考虑 两粒子的相互作用时，两个粒子体系的哈密顿算符为 相应的本征方程 式中的 可以分离成两个单粒子波函数的乘积 （因为不考虑相互作用） 当第一个粒子处于i态，第二个粒子处于j态时，波函数为 它是满足（10）式的解，对应的本征能量