基本不等式导学案2 教案.doc

《基本不等式》导学案 同课异构 ·第 PAGE 1页· 3.4 基本不等式：（第一课时） 教材：人教A版必修5 第三章3.4节 杭州二中 徐存旭 〖课标要求〗 1．探索并了解基本不等式的证明过程；2．会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 〖学科教学指导意见（浙江省）〗 1．了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程； 2．理解算术平均数、几何平均数的概念； 3．会用基本不等式解决简单的最大（小）值的问题； 4．通过基本不等式的实际应用，感受数学的应用价值. 结合课标要求和浙江省数学学科教学指导意见，制定下述教学目标. 〖教学目标〗 知识与技能：了解基本不等式的代数、几何背景，了解基本不等式的证明，能用基本不等式求解最大（小）值问题； 过程与方法：经历基本不等式的证明过程，整理应用基本不等式求解最大（小）值的步骤和方法； 情感态度与价值观：通过基本不等式的应用和探究，感受数学的应用价值和文化价值. 〖教学过程〗 哲思启迪：哲学家说，在这个世界上，等是相对的，特殊的，暂时的；而不等是绝对的，普遍的，永恒的. 新课引入 用一个两臂长短有差异的天平称一物品，有人说只要左右各秤一次，将两次所称重量相加后除以2就得物品的重量. 你觉得这种称法得出的结果比实际重量轻了，重了还是和实重相等？ （师生共同分析） 师：要知道结果，必须得出所称物品的真实重量.能不能结合物理中力矩相等的知识得出物品的真实重量呢？ 生：称两次，得到两个力矩平衡公式. 师：我们讲这位同学的想法具体化.设天平的两臂长分别为，两次称重砝码的重量分别为，物品的实际重量为，结合物理知识可得：. 师：原问题的实质是比较和的大小.我们将这个问题数学化，对两个正数，比较和的大小.有什么办法吗？ 生成1： 生：要比较两个量的大小，可以考虑做差比较. 师：很好.考虑,因为，故，即；显然，如果天平的两臂等长，则，则. 这就是我们今天要学习的内容“基本不等式：”. （展示课题） 生成2： 生：能不能找几个数字试试看. 师：譬如说取，则,.为方便大家计算，我设计了一个EXCEL表格，在和所在列中输入正数，就可得结果： 师：由此我们猜想，对两个正数a，b，有 师：请大家考虑能否证明或否定这个结论. 生：可否考虑做差法. 师：考虑,因为，故，即；显然，如果天平的两臂等长，则，则. 这就是我们今天要学习的内容“基本不等式：”. （展示课题） 讲授新课 1.证明再探究 师：还有其他方法可以证明基本不等式吗？ 生：采取分析求证. 师：即考虑要证明“”，只要证“”，只要证“”. 2.表达关注 师：对于一个数学对象，为了交流的需要，我们常关注数学对象的表达，即数学对象的“符号语言”，“文字语言”和“图形语言”. 师：“”即为基本不等式的符号语言的表达，为了叙述的方便，我们常记 “”为两个正数的算术平均数，记“”为两个正数的几何平均数.则基本不等式可以表示为？ 生：两个正数的几何平均数不大于（小于或等于）算术平均数. 师：基本不等式的图形语言应该就是其所表示的几何意义，请大家思考其几何意义是什么？（或思考课本P98的“探究”问题） （在师生共同讨论的基础上展示“几何画板”相关动态画面） 图形语言：“圆的半弦长不 大于半径”或“直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高”. 3.公式认知 师：接下来我们就公式本身进行一些研习，可以从哪些角度进行？（教师指导，学生从以前的学习中回顾研习代数形式的数学对象的角度） 生：公式的实质. 生：公式的呈现形式.…… （1）实质 师：让我们先从关键词看起，大家看看基本不等式的文字语言的叙述中最核心的关键词是什么？ 生：应该是“不大于”. 师：“不大于”的意义是什么？ 师：带着这个问题，我们来看：对两个量“”和“”而言，其大小关系只有三种，即：“”“”“”，上述基本不等式的结论告诉我们，第三种关系“”不成立. 师：请问什么时候两者是“相等”的关系？ 生：“”时. 师：什么时候两者是“”关系？ 生：“”时. 师：上述的分析告诉我们，基本不等式其实就是一个判断两个量的大小关系的工具. （2）形式 师：接下来我们从形式上分析基本不等式.先来看结构，生物学中有“结构”决定“功能”的说法，在数学上可能也有此道理. 师：大家看，不等式符号联系的两边的代数结构分别是什么？ 生：左边是乘法得到的“整式”，右边是加法得到的“分式”. 师：或者说左边是“乘积”，右边