基于Scaled_t分布的欧式看涨期权定价分析.docx

基于 Ｓｃａｌｅｄ－ｔ分布的欧式看涨期权定价分析（黄 冈 师 范 学 院 数 学 与 计 算 机 科 学 学 院 ，湖 北 黄 州 ４３８０００）余跃摘要 ：对 于 期 权 定 价 ，Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ定 价 公 式 基 于 对 数 收 益 率 的 正 态 分 布 假 设 ，但 相 关 研 究 表 明 对 数 收 益 率 往 往 呈现 尖 峰 厚 尾 特 点 ，因 而 不 完 全 是 正 态 分 布 。 把 正 态 分 布 改 为 Ｓｃａｌｅｄ－ｔ分 布 ，结 合 Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ公 式 的 概 率 基于 Ｓｃａｌｅｄ－ｔ分布的欧式看涨期权定价分析 （黄 冈 师 范 学 院 数 学 与 计 算 机 科 学 学 院 ，湖 北 黄 州 ４３８０００） 余 跃 摘 要 ：对 于 期 权 定 价 ，Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ定 价 公 式 基 于 对 数 收 益 率 的 正 态 分 布 假 设 ，但 相 关 研 究 表 明 对 数 收 益 率 往 往 呈 现 尖 峰 厚 尾 特 点 ，因 而 不 完 全 是 正 态 分 布 。 把 正 态 分 布 改 为 Ｓｃａｌｅｄ－ｔ分 布 ，结 合 Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ公 式 的 概 率 论 推 导 方 法 ， 并 类 比 Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ公 式 给 出 了 类 似 于 Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ公 式 的 欧 式 看 涨 期 权 定 价 公 式 ，它 可 以 克 服 尖 峰 厚 尾 问 题 ；最 后 结 合 一 个 具 体 实 例 ，计 算 了 Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ定 价 、二 项 式 定 价 与 定 价 公 式 的 定 价 结 果 ，三 者 与 实 际 结 果 相 吻 合 。 关 键 词 ：期 权 定 价 ；Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ公 式 ；Ｓｃａｌｅｄ－ｔ分 布 中 图 分 类 号 ：Ｆ８３ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１６７２－３１９８（２０１２）２０－００９６－０１ 近 二 三 十 年 来 ，期 权作为一种衍生金融工具在西方国 家得以迅速发展 ，已 经 具有丰富的内涵和日益复杂的交易 技 巧 。 期权价格是期权合约 中唯一随市场供求变化而改变 的 变 量 ，它的高低直接影响 到买卖双方的盈亏状况 ，是 期 权 交 易 的 核 心 问 题 。 相对于正态分布假设 ，Ｓｃａｌｅｄ－ｔ分 布 和 混 合 正 态分布能够更好地模拟对数收益率 ，特 别 在 尾 部 Ｓｃａｌｅｄ－ｔ分布比混合正态分布拟合 效 果 更 好 。 为 此 本 文 把 正 态 分 布 改 为 Ｓｃａｌｅｄ－ｔ 分 布 ，最终得到类似于 Ｂｌａｃｋ－ Ｓｃｈｏｌｅｓ公式的欧式看涨期权定价公式 。 １ 关 于 Ｓｃａｌｅｄ－ｔ分 布 定 义 １（Ｓｃａｌｅｄ－ｔ分 布 密 度 函 数）设ζ 为 一 随 机 变 量 ，若 它的密度函数为 ： （２）不存在交易成本或税负 ； （３）期权属于欧式期权 ； （４）股票的预期收益率和收益的标准偏差或易变性σ 在 整个期权有效期内是恒定的 ； （５）交 易 是 连 续 进 行 的 ，所得证券是完全可分的 ，在 衍 生产品有效期内 ，不存在股息或红利 ； （６）不 存 在 无风险套利机会 ，在衍生产品有效期内 ，无 风 险 利 率ｒ为 常 数 ，期权的执行价格 Ｘ 也 已 知 。 模 型 建 立 设 时 间 起 点 为 ０，终 点 为ｔ，Ｓ０ 为股票初始时刻价格 ，Ｓｔ ２．２ 为期权到期日的股票价格 ，根 据 假 设ｌｎ Ｓｔ （Ｓ０ ） ２ σ ｓ（μ， ，ｖ）， ～ｔ ，） （ ，，） ｌｎＳ ＋ｔ （μ，σ ｖ Γ（ｖ＋１） ｔ μ＋ｌｎＳ σ ｖ 则 ，即 Ｓｔ～ｅ ，即 Ｓｔ～ｅ ２ ［１＋ （ｘ－μ） ２ 期权到期日的 预 期 价 格 为 ［ （Ｓ －Ｘ ０ Ｘ ， ）］， Ｃ ＝ Ｅ ｍａｘ － ｆ（ｘ）＝ ２ ］ （ ）， ｖ＞２ ｔ ｔ Γ（ｖ ）槡π（ｖ－２）σ２ （ｖ－２）σ 为 执 行 价 格 。 ２ 令ζ ＝ｌｎＳｔ，则 Ｓｔ ＝ｅ ζ ，其 中ζ （μ ，２ ，）。则 ～ｔｓ ＋ｌｎＳ０ σ ｖ 则 称ζ 服 从 参 数μ，σ２ 和 自 由 度ｖ 的 Ｓｃａｌｅｄ－ｔ分 布 ，记 Ｃｔ ＝Ｅ［ｍａｘ（Ｓｔ －Ｘ，０）］＝Ｃｔ ＝Ｅ［ｍａｘ（ｅ －Ｘ，０）］＝ ζ 为ζ～ｔｓ（μ，σ ｖ ２ ，），其 中 为 伽 马 函 数 。 Γ ＋∞ ＋∞ ∫（ｅ －Ｘ）ｆ（ｙ）ｄｙ ＝ ｅｆ（ｙ）ｄｙ－Ｘ ｙ ∫ｌｎＸ ｙ ∫ｌｎＸ ｆ（ｙ）ｄｙ ＝ Ｃ１ 特 别 地 ，当μ＝０，σ＝１ 时 ，称 其 服 从 标 准 Ｓｃａｌｅｄ－ｔ分 布 。 －Ｃ２ ， 定 义 ２（Ｓｃａｌｅ