基于Lagrange方程建模的旋转倒立摆的分析与控制.doc

图 ( 旋转倒立摆系统的组成框图图 * 旋转倒立摆示意图基于 !#$%# 方程建模的旋转倒立摆的分析与控制张姝朱善安 浙江大学电气自动化研究所（’())*+）!#$%’$,% -./0 11$ 2 %345 -. 图 ( 旋转倒立摆系统的组成框图 图 * 旋转倒立摆示意图 基于 !#$%# 方程建模的旋转倒立摆的分析与控制 张 姝 朱善安 浙江大学电气自动化研究所（’())*+） !#$%’$ ,% -./0 11$ 2 %345 -. 64%7/80 9: $9-$4 /%;$-6 1%637 040-7 %6 6$/; /-0 7963 =06 9% !#$%# 7-.96?.% -. 3/%$ @6$-/8 91-/73 89%-$93 0-$-#4 /0 113/6 -9 60/#% -. 89%-$933$?. ::8-/;%00 9: -. 1$91906 7-.96 /0 1$9;6 =4 =3%8/%# -. 1%637 - -. /%;$-6 0-- 08800:334 9% -. A/%6920 *))) 13-:9$7 ()*+,%-#B$9-$4 /%;$-6 1%637C3#$%# 7-.96C!DE $#3-9$ 摘 要 本文通过对旋转倒立摆的动力学特性分析建立了基于 !#$%# 方程的数学模型，然后应用线性二次型最优控制 策略设计控制器，最后在 A/%6920*))) 平台下控制旋转倒立摆稳定在倒立状态。 关键词：旋转倒立摆，!#$%# 方程，!DE 控制器 目前国内已有不少关于小车驱动式倒立摆的研究 文章，但是直线型的小车驱动式倒立摆装置有很多传动 装置，传动装置的故障或误差常常会导致实验的失败。 同时直线型倒立摆系统的小车行程有物理限制，所增加 的控制约束使得一些算法在直线型倒立摆系统上无法 实现。相比于直线型倒立摆，旋转倒立摆没有了拖动小 车的皮带且连杆没有行程限制，情形有很大的改善。 本文介绍在 A/%6920*))) 平台下对实际的倒立 摆系统实现的控制。 . 系统建模 (( 系统结构 系统包括个人计算机、F?G)) 运动控制卡、伺服 机构、旋转倒立摆和光电码盘几大部分，组成了一个闭 环系统。其中倒立摆本体包括连杆、摆杆和连接关节。 连杆的角度、角速度信号通过光电编码盘 ( 反馈给伺 服驱动器和运动控制卡，摆杆的角度、角速度信号通过 光电码盘 * 反馈回控制卡。计算机从运动控制卡中读 取实时数据，确定控制决策，并由运动控制卡来实现该 控制决策，产生相应的控制量，驱动转轴处的电机转 动，带动连杆绕转轴在与电机转轴平行的垂直平面内 转动，从而带动摆杆绕关节在与关节转轴平行的垂直 平面内转动，最终实现摆杆的平衡。本文使用的旋转倒 立摆控制系统的组成框图如图 ( 所示。 础。在忽略空气流动及各种摩 擦的条件下，倒立摆系统可抽 象 成 如 图 * 所 示 的 两 个 匀 质 杆和质量块组成的系统。在任 一时刻，该系统的状态由 G 个 变量描述：连杆与水平 H 轴的 夹角（顺时针为正），连杆转动 的角速度，摆杆偏离垂直方向 的角度（顺时针为正），摆杆的角速度。 应用 !#$%# 方程 !（#$ %’(#$ %)*(#$ % 其中，! 为拉格朗日算子，@ 为系统的广义坐标，? 为系统的动能，I 为系统的势能。拉格朗日方程由广义 坐标 @/ 和 ! 表示为： + !! ) !! . - +, !- !$ - 在本系统中，/J(C*C@J｛!(，!*｝，:/ 为系统沿该广义 坐标方向上的外力。 K 系统的动能： ’’ 1’ 1’ /0 /2 /3 其中 ?7( 为连杆动能，?7* 为摆杆动能，?7’ 为质量 块动能。 2 2 0 0 0 0 2 2 2 ’/0 2 40 0 2 ( 3 /0 50 %!$ 0 6 /0 50 !$ 0 ’ 2 41 2 /!! +, 0 0 +()5789!% +(5789!159-:!9-:!% +(59-:!)5789!9-:!% 1! 1! +, +, 2 ’/3 2 /3 ! +, / 5 !! 2 +(50 !0 % 0 0 2 3 0 0 2 所以系统动能 2 2 0 0 ’’/0 1’/2 1’/3 /0 50 !$ 0 1 /3 50 !$ 0 2 2 6 2 (* 数学模型 建立比较精确的数学模型是控制系统设计的基 2 2 2 1 0 2 /2 (52 !$ 2 150 !$ 0 152 !$ 0 9-: !2 )250 52 !$ 0 !$ 2 789