基于SIMP插值模型的棋盘格现象滤波控制算法研究.doc

Research on filter control algorithm for the checkerboard phenomenon based on SIMP interpolation model 张 宇，罗陆锋 ZHANG Yu, LUO Lu-feng （天津职业技术师范大学 机械工程学院，天津 300222） 摘 要： 结合对拓扑优化中的数值不稳定现象的分析，以SIMP变密度法函数模型为基础，提出一种以 结构最小柔度为目标函数、位移为约束的滤波思想并进行了灵敏度分析，推导了具体的数学模 型和计算方法。应用APDL参数化编程语言进行了数值模拟分析，算例结果证明了所提出方法 对于控制棋盘格和网格依赖现象的有效性。 关键词： 最小柔度；棋盘格；变密度法；APDL参数化语言 中图分类号：TH164 文献标识码：A 文章编号：1009-0134(2012)10(上)-0081-03 Doi: 10.3969/j.issn.1009-0134.2012.10(上).26 0 引言 棋盘格是连续体结构拓扑优化中较为常见的 一种数值不稳定现象 [1,2]。所谓棋盘格，是指在结 构优化过程中某些区域出现的单元材质密度周期 性分布的一种现象。棋盘格的出现与分析单元的 选择有关，与单元的类型、单元的划分、单元弹 性模量与单元密度之间的关系以及优化算法本身 等都有关系。除了棋盘格以外，在拓扑优化的数 值计算中一般还存在着网格依赖性、局部极值、 多孔材料等问题。棋盘格和网格依赖两种现象一 般同时出现在优化结果中，能够有效去除棋盘格 的方法通常也能有效克服网格依赖现象 [3]。 拓扑优化中数值计算不稳定性的消除非常重 要，它关系到数值计算的收敛性和计算结果的可 制造性问题。解决棋盘格除了采用高阶有限单元代 替低阶单元方法外，一般还有周长约束、滤波法 等。从算法本身来说，周长约束等于在原有的模型 中添加了约束类型，可能造成收敛性和数值计算 问题。滤波法是图像处理技术中的常用方法，其基 本思想是将原函数与滤波函数进行卷积运算 [3]，对 原函数进行规整化处理，提高函数光滑性。该思想 应用到拓扑优化中的具体表现，就是通过调整每 次迭代后单元的灵敏度从而避免棋盘格的出现。在 这种方法中，某一单元的灵敏度依赖于其自身以 及滤波半径范围内相邻单元灵敏度的加权平均值。 其优点是不需要在优化问题中加入额外约束，另 外容易实施，收敛性好，计算稳定。这种方法对消 除棋盘格问题非常有效，也能一并解决网格依赖 性问题。 1 基于SIMP插值模型的滤波算法 1.1 灵敏度分析 SIMP[1,4,5] 方法的思想和前提是将离散单元内 部的材料属性定义为常数，设计变量定义为离散 单元的相对密度，尽量减少结构中间密度单元的 数目，使结构单元密度尽可能为 0 或 1[6]，从而用 连续优化设计方法来近似离散优化设计 [7]。 根据变密度方法的思想，单元材料为各向同 性材料，假设单元内材料的宏观性质为各向同性， 其泊松比与实体材料的泊松比相等。单元刚度矩 阵与单元材料的等效性质相关 [8]。为了控制整个 结构位移，设目标函数为： （1） 其中，C( ρ) 为结构柔度，F 和 U 分别为节点 载荷阵和位移阵，K 为刚度矩阵。如果我们以最 大位移为约束条件，根据变密度方法的思想，当 对连续体结构进行有限元离散以后，假设位移最 大的节点的位移受到了限制，则约束条件如下： （2） 式中 u* 为根据有限元分析的结果所给定的合 收稿日期：2012-03-27 基金项目：国家高技术研究发展计划（863 计划）重大课题 (2011AA04A102)；国家自然科学基金资助项目 ； 教育部科学技术研究重点项目 (210005)；天津职业技术师范大学科研发展基金 (KJ11-03) 作者简介：张宇（1979－），女，辽宁锦州人，讲师，硕士，研究方向为机械制造和虚拟仿真。 【82】 【82】 第34卷 第10期 2012-10(上) 理的位移上限，ρi 代表单元密度，ε 为人为给定的 密度下限，i=j1, j2, , jk 指优化后密度保持不变的 单元号。 有限元平衡方程为： KU=F （3） 在插值前和插值后的材料弹性模量之间引入 关系式： i其中，EP 代表插值以后的弹性模量，ρ P 代表 迭代后的单元密度，E0 和 Emin 分别代表固体和去 除部分的弹性模量，弹性模量 E( ρ) 与实体弹性模 量 E0 的比值同相对密度近似成指数关系，对上式 进行简化： i E( ρ)=ρPE 0 （4） 则目标函数可以修改为： （5） 现计算 j 单元滤波处理后的灵敏度值。在