线性代数1矩阵概念.ppt

例5? 设有矩阵A， 解 求1.5A . 解? 例6? 练习：设 求3A-2B. 解 数乘矩阵的运算规律 设k和l是两个常数，A和B均是m×n阶矩阵，容易验证下列 运算规律： 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算。 例7? 已知 且A?2X?B? 求X? 解?由A?2X?B? 得到 小 结 矩阵加法与矩阵数乘的运算规律 设A? B? C? O都是m?n矩阵? k? l是数? 则 (1)A?B?B?A? (2)(A?B)?C?A?(B?C)? (3)A?O?A? (4)A?(?A)?O? (5)k(A?B)?kA?kB? (6)(k?l)A?kA?lA ? (7) (kl)A?k(lA)? (8)1?A?A; 0?A?O. 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。 英国数学家凯莱 (A.Cayley,1821-1895) 一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。 1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。 在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯 (G.Frobenius,1849-1917) 的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。 1854 年，约当研究了矩阵化为标准型的问题。 矩阵是线性代数中一个重要的数学概念，它广泛地运用于自然科学、工程技术、现代经济管理等各个领域。本章将引进矩阵的概念，并讨论矩阵和线性变换的关系，以及矩阵的运算。重点是矩阵的概念及运算、矩阵的初等行变换及逆矩阵。 第二章 矩 阵 §2.1 矩阵的概念 【学习本节要达到的目标】 1、理解矩阵概念。 2、了解常见的矩阵类型。 在某些问题中? 所有数据可以用一个矩形表完整表示? 比如线性方程组可以对应一个矩形表? ? 这个矩形表就称为矩阵? 一、矩阵概念的引入 例1? 设有线性方程组 这个方程组未知量系数及常数项按方程组中的顺序组成一个4行5列的矩形阵列如下? 这个阵列决定着给定方程组是否有解? 以及如果有解? 解是什么等问题? 因此对这个阵列的研究就很有必要? 由此得到排成4行4列的产值阵列 它具体描述了这家企业各种产品各季度的产值? 同时也揭示了产值随季节变化规律的季增长率及年产量等情况? 例2? 某企业生产4种产品? 各种产品的季度产值(单位? 万元)如下表 由此得到一个m行n列阵列 它描述了生产过程中产出的产品与投入材料的数量关系? 例3? 生产m种产品需用n种材料? 如果以aij表示生产第i种产品(i?1? 2? ??? ? m)耗用第j种材料(j?1? 2? ??? ? n)的定额? 则消耗定额可以用一个矩形表表示? 例4. 某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线 ,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接 A 与B. 四城市间的航班图情况可用表格来表示: 其中 表示有航班. 到站 发站 为了便于计算,把表中的 改成1,空白地方填上 0,就得到一个数表: 这个数表反映了四城市间交通联接情况. 定义(矩阵) 由m?n个数aij(i?1? 2? ??? ? m? j?1? 2? ???? n)排成的一个m行n列的矩形表称为一个m?n矩阵（matrix） ? 记作 其中aij称为矩阵的第i行第j列的元素?