极坐标、参数方程的讲义设计.doc

2020届理科数学讲义——极坐标、参数方程 PAGE 15/ PAGE 15 第1课时　平面上的伸缩变换 1.直角坐标系 (1)直线上点的坐标 ①点O，长度单位和选定的方向三者就构成了直线上的坐标系，简称数轴. ②直线上的点与全体实数之间就建立了一一对应关系. (2)平面直角坐标系 ①取定两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，记为xOy，有序数组(x，y)为点M的坐标. ②在平面上建立了直角坐标系后，平面上的点就与全体有顺序的实数对之间建立了一一对应关系. (3)空间直角坐标系 ①过空间中一个定点O，作三条互相垂直且有相同长度单位的数轴，就构成了空间直角坐标系. ②在建立了空间直角坐标系后，空间中的点和有序数组(x，y，z)之间建立了一一对应关系. 2.平面上的伸缩变换 把点P(x，y)变为平面上新的点Q(X，Y)，伸缩变换的坐标表达式为： ，其中a0，b0. 特别提醒：(1)在坐标伸缩变换的作用下，可以实现平面图形的伸缩，因此，平面图形的伸缩变换可以用坐标的伸缩变换来表示. (2)在使用时，要注意点的对应性，即分清新旧：Q(X，Y)是变换后的点的坐标，P(x，y)是变换前的点的坐标. [思考·探究] 1.如何根据几何图形的几何特征建立恰当的坐标系？ 2.如何理解点的坐标的伸缩变换？ 【基础练习】 1.将点P(－2,2)变换为点Q(－6,1)的伸缩变换公式为(　　) 2.将圆x2＋y2＝1经过伸缩变换eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(X＝4x,Y＝3y))后的曲线方程为________. 类型1　已知伸缩变换求点的坐标和曲线方程 　在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(X＝3x,2Y＝y)). (1)求点A(eq \f(1,3)，－2)经过φ变换所得的点A′的坐标； (2)求双曲线C：x2－eq \f(y2,64)＝1经过φ变换后所得曲线C′的焦点坐标. 类型2　由条件求伸缩变换 　在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆x2＋y2＝1变换为椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1. [变式练习] 1.在同一平面坐标系中，求一个伸缩变换使其将曲线y＝2sineq \f(x,4)变换为正弦曲线y＝sin x. 第2课时 　极坐标系 1.平面上点的极坐标 (1)极坐标系：在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系，O点称为 ，Ox称为 . (2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画.这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.ρ称为 ，θ称为 2.点与极坐标的关系 (ρ，θ)和(ρ，θ＋2kπ)代表同一个点，其中k为整数.特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R).如果限定ρ≥0，0≤θ2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应关系. 3.极坐标与直角坐标的关系 (1)互化背景：设在平面上取定了一个极坐标系，以 极轴作为直角坐标系的x轴的正半轴，以θ＝eq \f(π,2)的 射线作为y轴的正半轴，以极点为坐标原点，长 度单位不变，建立一个直角坐标系(如图所示). (2)互化公式：设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表： 点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝ρcos θ,y＝ρsin θ)) ρ2＝ tan θ＝ (x≠0) [思考·探究] 1.极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系？ 2.极坐标系所在平面内的点与极坐标是否能建立一一对应关系？ 3.联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什么？ 类型一　确定极坐标系中点的坐标 　设点A(2，eq \f(π,3))，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴，直线l，极点的对称点的极坐标(限定ρ0，－πθ≤π). [变式练习] 1.在极坐标系中，B(3，eq \f(π,4))，D(3，eq \f(7,4)π)，试判断点B，D的位置是否具有对称性，并求出B，D关于极点的对称点的极坐标(限定ρ0，θ∈[0,2π)). 类型二　将点的极坐标化为直角坐标 　写出下列各点的直角坐标，并判断所表示的点在第几象限. (1)(2，eq \f(4π,3))；(2)(2，－eq \f(2,3)π)；(3)(2，－eq \f(π,3)). [变式练习] 1.分别把下列点的极坐标化为