第二章 齐次变换.ppt

第二章 齐次坐标变换ChapterⅡ Homogeneous Transformation 2.1 引言 2.9 逆变换 2.2 点向量和平面的描述 2.10 一般性旋转变换 2.3 变换 2.11 等价旋转角与旋转轴 2.4 平移变换 2.12 扩展与缩小 2.5 旋转变换 2.13 透视变换 2.6 坐标系 2.14 变换方程 2.7 相对变换 2.15 小结 2.8 物体的描述 2.1 引言 (Introduction) 机器人操作涉及到各物体之间的关系和各物体与机械手之间的关系。这一章将给出描述这些关系必须的表达方法。类似这种表示方法在计算机图形学中已经解决。在计算机图形学和计算机视觉中，物体之间的关系是用齐次坐标变换来描述的。在本课程我们将采用齐次坐标变换来描述机械手各关节坐标之间、各物体之间以及各物体与机械手之间的关系。 本章首先介绍向量和平面的表示方法，然后引出向量和平面的坐标变换，这些变换基本上是由平移和旋转组成，因此可以用坐标系来描述各种物体和机械手的空间位置和姿态。稍后还要介绍逆变换，逆变换是运动学求解的基础。 2.2 点向量和平面的描述（Notation of point vectors and planes） 2.2.1 点向量（Point vectors） 点向量描述空间的一个点在某个坐标系的空间位置。同一个点在不同坐标系的描述及位置向量的值也不同。如图2.1中，点p在E坐标系上表示为 Ev，在H坐标系上表示为 Hw，且v ≠ w。一个点向量可表示为 v = ai + bj + ck 通常用一个（n + 1）维列矩阵表示，即除 x、y、z 三个方向上的分量外，再加一个比例因子 w ，即 v = [ x y z w ]T 其中 a = x/w, b = y/w, c = z/w。 已知两个向量 a = ax i + ay j + az k b = bx i + by j + bz k （2.1） 向量的点积是标量。用“ · ”来定义向量点积，即 a · b = ax bx + ay by + az bz （2.2 ） 向量的叉积是一个垂直于由叉积的两个向量构成的平面的向量。用“×”表示叉积，即 a × b = ( ay bz ˉ az by ) i + ( az bx ˉ ax bz ) j + ( ax by ˉ ay by ) k （ 2.3） 可用行列式表示为 i j k a × b = ax ay az （2.4） bx by bz 2.2.2 平面（Planes） 平面可用一个行矩阵表示，即 p = [ a b c d ] （2.5） 它表示了平面p的法线方向，且距坐标原点的 距离为－d / m，其中 m =