概率论与随机过程课程论文.docx

浅析二阶模糊随机过程均方Henstock—Stieltjes积分 摘要:定义了二阶模糊随机过程均方Henstock—St iehjes积分，并探究了其部分性质。同时对二阶二阶模 糊随机过程均方Henstock—St iehjes积分的一个收敛定理和可导性做了简单研究。 关键词：二阶模糊随机过程；Henstock积分；均方Henstock积分 1引言 在现实牛活中存在大量既具有随机性又具有模糊性的不确定性现彖，这些现彖被称为 模糊随机现象.许多人们感兴趣的模糊随机现象往往是通过积分、导数和微积分方程等数 学形式出现的，这就为研究描述模糊随机现彖的模糊随机过程以及模糊随机微积分提供了 实际背景.文献［1］比较系统地研究了一?类模糊随机过程的均方微积分.如同实值过程的均 方微积分，模糊随机过程的均方微积分亜要性在于简单实用，不涉及很深的随机分析理 论.众所周知，经典牛顿积分与黎曼积分互不包含，虽然勒贝格积分包含了黎曼积分，但 也不包含牛顿积分。Henstock积分不仅包含牛顿积分、黎曼积分和勒贝格积分，而且不需 要测度理论支持，便于应川科学工作者和工程研究人员很快地掌握并应川到他们的实际研 究中去.本文讨论一类模糊随机过程的均方Henstock积分及其基本性质，使文献［1］中的 结果为本文的特例，推广了其结果.文中第一部分対实值Henstock枳分、模糊数空间以及 关于模糊随机变量的I?空间筹预备知识作了介绍，第二部分给出了二阶模糊随机过程均方 Hcnstock积分的定义并对其基本性质等进行了讨论，第三部分则对二阶模糊随机过程均方 Hcnstock积分的收敛定理和可导性做了简单讨论。 2预备知识 定义1(参阅文献⑴)设d(x) 0是区间［azb］±一实值，［a,b］的一个划分 ｛［冷1心］旳心1,2丄/｝称为心)细分(细的划分,简称细分),如果下列条件成立: a = v X］ v 七 v L xtl = b ； ⑵ Xj ［Xj. !，xj (X,.- d(x,),x. + d(x,)),z= 1,2,L ，其中齐称为分点,x,称为［坷…召］的 关联点。 引理1 (1)给定［a,b］±函数d(x) 0,那么［a,b］的心)细分P总是存在的。 设0 dj(x) 2(兀)，则b，b］的任意d)(x)细分也是4(兀)细分。 (3)设口⑴是定义在［a,c］上的止实值函数，4(兀)是定义在［c,b］上的止实值函数，令 I min{dj(x),c- x},x ［a,c) min ^(x),d2Cv)},x= c min{d2(x),x- c},x (c,b］ 对于任意d(Q细分，如果c不是关联点，那么c总是一个分点。 证明：(1)的证明见文献⑵的引理2.1. (2)设［a,b］上任意 氐兀)细分 D= 1,2,L ,n},则对 x ［：曲］有, xz - r,-., dj(x-) 2(x,),r,-- x- d^x,) 2(xJ，所以有 xz ［tj. !，r, J (xz ?①(X-),x, + do(X/)), 因此as)细分也是①⑴细分。 (3)设{［Zy. pfJjXpi = 1,2,L ,〃}是［a,b］的任意d(x)细分，设c不是一个分点,则必存 在D中某个区间包含c,不妨设［/「,切。C不是关联点，所以c 「若oxz,则 tj - Xj c- Xj,另由 cK.r)定义知此时 d(x/.)= min d{(x,),c- x, },又由 tt - x, d(x,),得 xf c- Xj,才炳。若c d(x,),类似可证得x厂th ］ x,?c ,才厉。所以，c点一定 是分点。 定义2 (参阅文献⑵)实值函数于⑴ 称为［a,b］± Henstock可积的(简称H可积)，如果 存在常数A,对每个e 0 ,都存在一个函数d(x) 0 ,对［a,b］的任意d(x)细分 P = {［兀卜］,兀,］；X/,i = 1,2,L ,m},有 3 f(X；)(%/ ■ Xj_ |)- Ave。 i=］ 注：如果上述定义中的d(x)为常值函数，那么H积分即为黎曼积分。由牛顿积分的定义, 易证牛顿可积的实值函数也是H可积的(见文献⑶屮定理2)o由文献［2］屮定理5.7知如 果实值函数于(兀)在［a,b］±勒贝格可积,则其在［a,b］± H可积。 模糊数空间Ed = {u : Rd ［0,1］I,W满足下面的(1)?(4}： (1) u杲正规模糊集；(2) u是模糊凸的；(3) U是上半连续的；(4) [w]°= {x?/?/l?(x) 0}是紧集。设Ed , u的r 一水平集定义为[u]r = {x^Rd\u(x) r}(0 r 1),在E”上定义距离 D(w,v)= sup d(\u]rM)o (E“，D)是一完备度量空间。 0 r