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8.8 立体几何中的向量方法( 二)
考情分析
考查用向量方法求异面直线所成的角，直线与平面所成的角、二面角的大小．
基础知识
1．空间的角
(1)异面直线所成的角
如图，已知两条异面直线a 、b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b.则把
a ′与b ′所成的锐角(或直角) 叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角) ．
(2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面
所成的角．
①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行，或在平面内，
则它们所成的角是0°的角．
(3)二面角的平面角[来源:学科网ZXXK]
如图在二面角α-l-β 的棱上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α 和β 内分别
作垂直于棱l 的射线OA 和OB，则∠AOB 叫做二面角的平面角．
2 ．空间向量与空间角的关系
(1)设异面直线l ，l 的方向向量分别为m ，m ，则l 与l 的夹角θ满足cos θ＝
1 2 1 2 1 2
|cos 〈m ，m 〉|.
1 2
(2)设直线l 的方向向量和平面α 的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α 的夹
角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|.
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(3)求二面角的大小
( ⅰ)如图①，AB 、CD 是二面角α-l-β 的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的
→ →
大小θ＝〈AB ，CD〉．
( ⅱ)如图②③，n ，n 分别是二面角α-l-β 的两个半平面α，β 的法向量，则二面
1 2
角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n ，n 〉或－cos 〈n ，n 〉．
1 2 1 2
注意事项
π
1.(1)异面直线所成的角的范围是0， ；
2
π
(2)直线与平面所成角的范围是0，2 ；
(3)二面角的范围是[0，π]．
2.利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β 的法向量n ，n
1 2
时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量 n ，
1
n2 的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点．
题型一 求异面直线所成的角
【例1】已知ABCD -A B C D 是底面边长为1 的正四棱柱，高AA ＝2 ，求
1 1 1 1 1
(1)异面直线BD 与AB 1 所成角的余弦值；
解 (1)如图建立空间直角坐标系A -xyz ，由已知条件：
1
B(1,0,2)，D(0,1,2)，
A (0,0,2)，B (1,0,0) ．
1
→
则BD ＝( －1,1,0)，
→
AB 1 ＝(1,0，－2)
设异面直线BD 与AB 1 所成角为θ，
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