2014届高考数学一轮必备考情分析学案:88《立体几何中的向量方法》2.pdf

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Go the distance 8.8 立体几何中的向量方法( 二) 考情分析 考查用向量方法求异面直线所成的角,直线与平面所成的角、二面角的大小. 基础知识 1.空间的角 (1)异面直线所成的角 如图,已知两条异面直线a 、b ,经过空间任一点O 作直线a ′∥a ,b ′∥b.则把 a ′与b ′所成的锐角(或直角) 叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角) . (2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面 所成的角. ①直线垂直于平面,则它们所成的角是直角;②直线和平面平行,或在平面内, 则它们所成的角是0°的角. (3)二面角的平面角[来源:学科网ZXXK] 如图在二面角α-l-β 的棱上任取一点O,以点O 为垂足,在半平面α 和β 内分别 作垂直于棱l 的射线OA 和OB,则∠AOB 叫做二面角的平面角. 2 .空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l ,l 的方向向量分别为m ,m ,则l 与l 的夹角θ满足cos θ= 1 2 1 2 1 2 |cos 〈m ,m 〉|. 1 2 (2)设直线l 的方向向量和平面α 的法向量分别为m ,n ,则直线l 与平面α 的夹 角θ满足sin θ=|cos 〈m ,n 〉|. Go the distance (3)求二面角的大小 ( ⅰ)如图①,AB 、CD 是二面角α-l-β 的两个面内与棱l 垂直的直线,则二面角的 → → 大小θ=〈AB ,CD〉. ( ⅱ)如图②③,n ,n 分别是二面角α-l-β 的两个半平面α,β 的法向量,则二面 1 2 角的大小θ满足cos θ=cos 〈n ,n 〉或-cos 〈n ,n 〉. 1 2 1 2 注意事项  π 1.(1)异面直线所成的角的范围是0, ;  2  π (2)直线与平面所成角的范围是0,2 ;   (3)二面角的范围是[0,π]. 2.利用平面的法向量求二面角的大小时,当求出两半平面α、β 的法向量n ,n 1 2 时,要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,从而确定二面角与向量 n , 1 n2 的夹角是相等,还是互补,这是利用向量求二面角的难点、易错点. 题型一 求异面直线所成的角 【例1】已知ABCD -A B C D 是底面边长为1 的正四棱柱,高AA =2 ,求 1 1 1 1 1 (1)异面直线BD 与AB 1 所成角的余弦值; 解 (1)如图建立空间直角坐标系A -xyz ,由已知条件: 1 B(1,0,2),D(0,1,2), A (0,0,2),B (1,0,0) . 1 → 则BD =( -1,1,0), → AB 1 =(1,0,-2) 设异面直线BD 与AB 1 所成角为θ,

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