数学建模暑期培训.ppt

四、养老保险问题 养老保险 某保险公司的一份材料指出：在每月交费200元至60岁开始领取养老金的约定下，男子若25岁起投保，届时月养老金2282元；若35岁起投保，月养老金1056元；若45岁起投保，月养老金420元. 问题 交保险费所得利率如何？ (注意：显然结果依赖于投保人寿命) 设投保人在投保后第k个月所交保险费及利息的累计总额Fk为，那么易得到数学模型为分段表示的差分方程 Fk+1=Fk(1+ r)＋ p, k = 0,1,…, N Fk+1=Fk(1+ r)－ q, k =N+1,…, M 其中p、q分别为60岁前所交月保险费和60岁起所领月养老金的数目(元)，r是所交保险金获得的利率， N, M分别是自投保起至停交保险费和至停领养老金的时间(月).显然M依赖于投保人的寿命,取 M= 75(岁) 统计平均值. 以25岁起投保为例,则有 P = 200, q = 2282; N = 420, M = 600 如前可推出差分方程的解 Fk = F0 (1+ r )k ＋[(1+ r )k－1] p/r, k = 0, 1,…, N Fk = FN (1+ r )k －N ＋[(1+ r )k－1] q/r, k =N+1,…, M 在前一式取k=N，后一式取k=M，且注意 F0 = FM = 0，消去FN ， (1+ r )M－ (1+ q/p ) (1+ r )M－N + q/p ＝0 记 x＝ 1+ r， 代入数据 x600－12.41x180＋11.41＝0 ( Newton法，或借助软件） x＝1.00485 , r ＝0.00485 某保险公司的推出结合养老的寿险计划，例子为：若40岁的男性投保人每年交保险费1540元，交费期20年至60岁 任务：一个人寿保险计划的利率分析 试分析：若该投保人的寿命为76岁，其交保险费所获得的实际年利率是多少？若该投保人的寿命为74岁，其交保险费所获得的实际年利率又是多少？ 则在他生存时期，45岁时(投保满5年)可获返还补贴4000元，50岁时可获返还补贴5000元，其后每隔5年可获增幅为1000元的返还补贴；而在投保人去世或残废时，其受益人可获保险金20000元 * 数学模型的概念 数学建模就是建立数学模型来解决各种实际问题。 现实世界中有大量的实际问题，这些问题往往不会直接地以现成的数学形式呈现，这就要求我们把实际问题抽象出来，在可能将其尽量简化，通过假设变量和参数，运用一些数学方法建立和参数的数学关系式或者算法，这样抽象成的数学关系式或算法就是所谓的数学模型。 通过数学方法对模型的分析与求解，最后在解释和验证所得的解，进而指导实际问题。这个过程称为数学建模。这个过程一般不会一次完成的。 数学模型和数学建模没有一个确切定义，若硬要给一个定义，大概定义如下： 对于一个给定的现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，导出的一个数学结构。 数学模型 数学建模 建立数学模型的全过程: （包括表述、求解、解释、检验等） 可用下面的图表直观地表示数学建模过程的各阶段及其联系. 实际问题 抽象,简化,假设,确定变量与参数 建立数学模型并求解,确定参数 交付使用从而产生经济,社会效益 用实际背景或数据等来检验数学模型 若不符合实际 若符合实际 一个简单的问题 他是嫌疑犯吗？ 某公寓发生一起谋杀案，死者是下午7:30被发现的，法医8:20赶到现场，经过调查，种种迹象表明，此案最大的嫌疑犯是其单位的张某，但有人证明，张某下午5:00之前张某一直在办公室， 5:00时张某才匆匆离开，从其办公室到公寓步行需要10分钟，此能否证明张某绝对不在现场。 若死者是在5:10之前被谋杀的，就可以排除张某了。 如何测定死者被杀的时间呢？ 让死者说话，告诉法医被杀的时间！ 试设计一种测试死亡时间的方法： 死者的体温！ 问题提出： 他是嫌疑犯吗？ 法医在8:20时，测得死者体温为32.6oC ，一小时后，死者被移走时，又测量了一下体温为31.4oC，当时室内温度为21.1oC。能否由此来推算死者死亡时间？ 我们建立一个数学模型来解决此问题 模型假设 死者生存时正常体温为37oC，无生病发烧现象。 室内温度在几个小时内为恒定的。 由Fourier热传导定律：死者体温下降的速率与尸体温度与外界温差成正比，设比例系数为k。