概率论与数理统计练习习题三.docx

习题三 （1）?12件产品，其中有两件次品，每次任取一只，①放回抽样②不放回抽样.定义随机 变量X,Y如下。 0,若第一次取出的是正品 =f 0,若第二次取出的是正品 1,若第一次取出的是次品Y=[1,若第二次取出的是次品 分别写出两种情况下X, Y的联合分布律。 解：①显然此时 X, Y 相互独立 P{X=0,Y=0}=P{X=0}P{Y=0}= (10/12)2 =25/36 P{X=0,Y=l}=.. =5/36 P{X=l,Y=0}=.. =5/36 P{X= 1,Y= 1}=...=1 /36AX,Y 联合分布律为 01 0 1 0 25/36 5/36 1 5/36 1/36 0 1 0 45/66 10/66 1 10/66 1/66 ② P {X=0,Y=0 }=P {Y=0|X=0} P {X=0 }=9/U*10/l 2=45/66 P {X=0,Y= 1 }=...=10/66P{X=l,Y=0}=.. =10/66 P{X=1,Y=1}=.. =1/66 AX,Y 的联合分布律为(2)将一硬币抛3次，X表示在3 ② P {X=0,Y=0 }=P {Y=0|X=0} P {X=0 }=9/U*10/l 2=45/66 P {X=0,Y= 1 }=...=10/66 P{X=l,Y=0}=.. =10/66 P{X=1,Y=1}=.. =1/66 AX,Y 的联合分布律为 (2)将一硬币抛3次，X表示在3次中正面出现的次数，Y表示3次中正面和反面次数之 差的绝对值，求X, Y的联合分布律。 解：显然X的取值有四种可能,0-3o Y=|X-(3-X)|=|2X-3| ??.Y的取值由X决定,可能取值 为 1,3. P{X=0}=P{X=0,Y=3}=l/8 P{X=l}=P{X=l,Y=l}=3/8 P{X=2}=P{X=2,Y=1 }=3/8 P{X=3}=P{X=3,Y=3} = l/8 可知X, Y的联合分布律为(表1) 0 1 2 3 n 1234567890 1 3/8 3/8 d(n) 1 223242434 3 1/8 1/8 F(n) 0 11112 1112 表1 表2 （3）（略） （4）（略）提示若n=10则能整除10的正整数有1, 2, 5, 10四个，素数有 2, 5两个，所以当n二10时，d=4 f=2其余类推可得表2,即可写出分布律。 （5）随机变量（X, Y）的概率密度为 f(X,Y)= k(6-x- y),0 Y x Y 2,2 Y y Y 40,其他 ①确定常数k?②求P{X1, Y3}③求P{XV1.5}④求P{X+YW4} 解:①由 F(+°°,+8)=i 得￡ ￡ k(6- x - y)dydx = k『6-2xdx =8k=l.\k=l/8 Jo P{XLY3}=￡j^|(6-x-y)dydx=.. =3/8 r3/2 r4 1 . P{X1.5}=Jo「-(6-x-y)dydx =.. =27/32 ④ P{X+YW4}=J：f7*(6-x-y)dydx二…二2/3 (图 1) (6)(略) (7)设二维随机变量(X,Y)的概率密度如下，求边缘概率密度 f (x,y)=4.8y(2 一 x),0 x 1,0 y x0,其他解：fx(x)二匚f(x,y)dy =4.8y(2-x)dy,0 x 1, _ J4.8x-2.4x3,0 x 10,else I 其他fy(y)二匸 f(x,y)dx=:4.8y(2-x)dx,0yl, (2.4y(3-4y + y2),0 ^ 1 0, f (x,y)= 4.8y(2 一 x),0 x 1,0 y x 0,其他 解：fx(x)二匚f(x,y)dy = 4.8y(2-x)dy,0 x 1, _ J4.8x-2.4x3,0 x 10,else I 其他 fy(y)二匸 f(x,y)dx= :4.8y(2-x)dx,0yl, (2.4y(3-4y + y2),0 ^ 1 0, else 0,其他 (8)设二维随机变量(X,Y)的概率密度如下，求边缘概率密度 \e~y,0 - x y 0,其他 f(x,y)= fx(x)= J[ f(x,y)dy = fy(y)二匚 f(x,y)dx 二 「+8 J e_ydy, x 0 _ 05else ￡ e~ydx,y 0,_ O,else e~\x0 0,其他 a0, 0,其他 0,其他 f(x,y)=解：①由F(+8,+ OO)二1得②fx(x) = J[f(x,y)dy = J x221~4x2ydy5-l x UO,else2i-x f(x,y)= 解：①由F(+8,+ OO)二1得 ②fx(x) = J[f(x,y)dy = J x