高中数学必修五数列知 识点.docVIP

一、知识纲要 (1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． (2)等差、等比数列的定义． (3)等差、等比数列的通项公式． (4)等差中项、等比中项． (5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法． 二、方法总结 1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想． 2．等差、等比数列中，、、、、 “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法． 3．求等比数列的前项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想． 4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等． 三、知识内容： 1.数列 数列的通项公式： 数列的前n项和： 1、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数． 3、有穷数列：项数有限的数列． 4、无穷数列：项数无限的数列． 5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 7、常数列：各项相等的数列． 8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列的第项与序号之间的关系的公式． 10、数列的递推公式：表示任一项与它的前一项（或前几项）间的关系的公式． 例1.已知数列的前n项和为,求数列的通项公式. 当时，,当时，,经检验 时 也适合,∴ 2.等差数列 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。 等差数列的判定方法:[来源:学*科*网] （1）定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列。 （2）等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列。 等差数列的通项公式： 如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为。 说明：该公式整理后是关于的一次函数。 等差数列的前项和：① ② 说明：对于公式②整理后是关于的没有常数项的二次函数。[来源:学#科#网Z#X#X#K] 等差中项：[来源:Z_xx_k.Com] 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或 说明：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 等差数列的性质： （1）等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有[来源:Z*xx*k.Com] （2）对于等差数列，若，则。（、、），则 也就是：，如图所示： （3）若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列。如下图所示： 例7.等差数列{a n}中，已知，，a n =33，则n为（ ） (A)48 (B)49 (C)50 (D)51 例12.已知等差数列满足,则有( ) 例13. 已知数列的前项和， 求证:数列成等差数列，并求其首项、公差、通项公式 .解：, 当时,,时亦满足 ∴ , ∴首项且 ∴成等差数列且公差为6、首项、通项公式为 3.等比数列 等比数列的概念： 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示（）。 等比中项： 如果在与之间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项。 也就是，如果是的等比中项，那么，即。 等比数列的判定方法： （1）定义法：对于数列，若，则数列是等比数列。 [来源:学科网ZXXK] （2）等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。 等比数列的通项公式： 如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为。 等比数列的前n项和： eq \o\ac(○,1) eq \o\ac(○,2) eq \o\ac(○,3)当时， 等比数列的性质： ①等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有 ②对于等比数列，若，则 也就是：。如图所示： ③若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。如下图所示： 例8.在等比数列中,,则 例9.和的等比中项为( ) 例10. 在等比数列中，，，求， 解：∵是与的等比中项，∴∴ 例11.在等比数列中,和是方程的两个根, 则( ) 4.数列前n项和 （1）重要公式： ； ； （2）等差数列