高中数学必修1基本初等函数常考题型：指数函数及其 性质.docVIP

指数函数及其性质 【知识梳理】 1．指数函数的定义 函数(且)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 2．指数函数的图象和性质 图　象 性　　质 定义域 值域 过定点 过点即时， 单调性 是上的增函数 是上的减函数 【常考题型】 题型一、指数函数的概念 【例1】　(1)下列函数： ①；②；③；④. 其中，指数函数的个数是(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． (2)函数是指数函数，则(　　) A．或 B． C． D．且 [解析]　(1)①中，的系数是，故①不是指数函数； ②中，的指数是，不是自变量，故②不是指数函数； ③中，的系数是，幂的指数是自变量，且只有一项，故③是指数函数； ④中，中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．所以只有③是指数函数． (2)由指数函数定义知，所以解得. [答案]　(1)B　(2)C 【类题通法】 判断一个函数是否为指数函数的方法 判断一个函数是否是指数函数，其关键是分析该函数是否具备指数函数三大特征： (1)底数，且. (2)的系数为. (3)中“是常数”，为自变量，自变量在指数位置上． 【对点训练】 下列函数中是指数函数的是________(填序号)． ①；②；③；④； ⑤；⑥. 解析：①中指数式的系数不为，故不是指数函数；②中，指数式的系数不为，故不是指数函数；④中底数为，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③. 答案：③ 题型二、指数函数的图象问题 【例2】　(1)如图是指数函数①，②，③，④的图象，则，，，与的大小关系为(　　) A． B． C． D． (2)函数(，且)的图象过定点________． [解析]　(1)由图象可知③④的底数必大于，①②的底数必小于. 过点作直线，如图所示，在第一象限内直线与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则，，从而可知，，，与的大小关系为. (2)法一：因为指数函数(，且)的图象过定点，所以在函数中，令，得，即函数的图象过定点． 法二：将原函数变形，得，然后把看作是的指数函数，所以当时，，即，，所以原函数的图象过定点． [答案]　(1)B　(2) 【类题通法】 底数对函数图象的影响 (1)底数与的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当时，指数函数的图象“上升”；当时，指数函数的图象“下降”． (2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是，还是，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近轴． 当时， ①若，则； ②若，则. 当时， ①若，则； ②若，则. 【对点训练】 若函数(，且)的图象不经过第二象限，则有(　　) A．且 B．且 C．且 D．且 解析：选D　由指数函数图象的特征可知时，函数(，且)的图象必经过第二象限，故排除选项B、C.又函数(，且)的图象不经过第二象限，则其图象与轴的交点不在轴上方，所以当时，，即，故选项D正确. 题型三、与指数函数有关的定义域、值域问题 【例3】　求下列函数的定义域和值域： (1)；(2)；(3). [解]　(1)要使函数式有意义，则，即， 因为函数在上是增函数，所以， 故函数y＝的定义域为． 因为，所以，所以， 所以，即函数的值域为． (2)要使函数式有意义，则，解得，所以函数的定义域为． 因为，所以，即函数的值域为． (3)要使函数式有意义，则，解得，所以函数的定义域为．而，则函数的值域为． 【类题通法】 指数型函数的定义域、值域的求法 (1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是型还是型，前者的定义域是，后者的定义域与的定义域一致，而求型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)． (2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为，切记准确运用指数函数的单调性． 【对点训练】 求函数的定义域和值域． 解：定义域为. ∵，∴. 又∵，∴函数的值域为． 【练习反馈】 1．已知，则指数函数①，②的图象为(　　) 解析：选C　由于，所以与都是减函数，故排除A、B，作直线与两个曲线相交，交点在下面的是函数的图象，故选C. 2．若函数是实数集上的增函数，则实数的取值范围为(　　) A.　　　　　　　　 B． C. D. 解析：选B　由题意知，此函数为指数函数，且为实数集上的增函数，所以底数，解得. 3．指数函数的图象过点，那么________. 解析：设(且)， 又， ∴. 答案： 4．函数，的值域为________． 解析：∵，∴. ∴. ∴值域为. 答案： 5．已知函数()的图象经过点，其中且. (1)求的值； (2)求函数()的值域． 解：(1)因为函数图象过点， 所以，则. (2)()， 由得，， 于是.