阿波罗尼斯圆及其应 用1.docVIP

PAGE PAGE 4 阿波罗尼斯圆及其应用 数学理论 “阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。 （时点的轨迹是线段的中垂线） 阿波罗尼斯圆的证明及相关性质 定理：为两已知点，分别为线段的定比为的内外分点，则以为直径的圆上任意点到两点的距离之比为 证 （以为例） 设，则 . 由相交弦定理及勾股定理知 于是 而同时在到两点距离之比等于的曲线（圆）上，不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此，圆上任意一点到两点的距离之比恒为 性质1.当时，点在圆内，点在圆外； 当时，点在圆内，点在圆外。 性质2.因，过是圆的一条切线。 若已知圆及圆O外一点，可以作出与之对应的点反之亦然。 性质3.所作出的阿波罗尼斯圆的直径为，面积为 性质4.过点作圆的切线为切点），则分别为的内、外角平分线。 性质5.过点作圆不与重合的弦则平分 数学应用 （03北京春季）设为两定点，动点到点的距离与到点的距离之比为定值求点的轨迹. （05江苏）圆和圆的半径都是1，，过动点分别作圆和圆的切线分别为切点），使得，试建立适当坐标系，求动点的轨迹方程. （06四川）已知两定点如果动点满足，则点的轨迹所围成的图形的面积是________________. (08江苏)满足条件的面积的最大值是___________. 5.在等腰中，是腰上的中线，且则面积的最大值是___________. 已知是圆上任意一点，问在平面上是否存在一点，使得若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 变式：已知圆，问在轴上是否存在点和点，使得对于圆上任意一点，都有若存在，求出坐标；若不存在，说明理由. 在中，是的平分线，且 求的取值范围； 若的面积为1，求为何值时，最短. 问题 在同一平面内，已知两定点，若动点满足,则点的轨迹方程是________.其轨迹为_________. 变式 如果将题目中“”改为“”呢？ 8、已知，是圆上任意一点，问是否存在这样的常数，使得？若存在，求出常数的值；若不存在，请说明理由 对以上问题的反思：对于圆上任意一点P，和定点，是否在轴上存在不同于点的点，使得为常数？ 变式一 求证： 对于圆上任意一点P和定点，在轴上存在唯一一点B，使得为常数，且， 变式： 求证： 对于圆上任意一点P，在轴上存在不同的两点，使得为常数，且 变式： 求证： 对于圆上任意一点P和定点，在轴上存在唯一一点B，使得为常数，且， 注 1. 可以由变式二类似地到什么结论，请你把它写下来，并加以证明 2. 你还能得到更一般的结论吗？