北师大版九年级数学下册：3.3 垂径定理 学案设计.docx

垂径定理 【学习目标】 1．探索圆的对称性及相关性质； 2．结合图形证明并记住垂径定理及推论； 3．能用垂径定理及推论进行计算和简单的证明。 【学习重点】 垂径定理及推论的应用。 【学习过程】 一、学习准备 1．圆的定义：在平面上，到 的距离等于 的所有点组成的图形叫做圆。 2．圆 轴对称图形，它的对称轴有 条。 二、解读教材 3．认识弧与弦 （1） 圆上任意两点间的部分叫做 。大于半圆的弧叫做 ，小于半圆的弧叫 ，弧AB记作 ，图中劣弧有 　 　　　　 （2） 连接圆上任意两点的线段叫做 ， 经过圆心的弦叫 图中弦有 ， 其中直径是 。 （3） 下列说法正确的有（ ） A．直径是圆的对称轴 B．半圆是弧 C．半圆既不是优弧也不是劣弧 D． 直径是弦 E。 圆中两点间的部分为弦 F。 过圆上一点有无数条弦 4．垂径定理 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD ，使CD AB于点M （1）右图是轴对称图形吗？如果是，对称轴是 ，根据轴对称性质图中相等线段有 ， 相等的劣弧有 （2） 垂径定理：垂直于弦的直径 这条弦，并且 AM=BM弦AC= 弦CD AM=BM 弦AC= 弦CD= 5．垂径定理的推论 如图：AB是⊙O的弦（不是直径）作一条平分AB的直径CD， 交AB于点E （1）图形是轴对称图形吗？ （2）发现的等量关系有： 垂径定理的推论：平分弦( )的直径垂直平分 一条直线在 一条直线在 = 1 \* GB3 ①直线过圆心 = 2 \* GB3 ② 垂直于弦 = 3 \* GB3 ③平分弦 = 4 \* GB3 ④平分弦所对的优弧 = 5 \* GB3 ⑤ 平分弦所对的劣弧 五个条件中任意具备两个条件，则必具有另外三个结论，简记 “知二推三” 三、挖掘教材 6．你也能得到下面的结论 （1）平分弦所对的一条弧的直径，必垂直平分弦， 并平分弦所对的另一条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的另一条弧。 （3）还有其它结论吗？事实上，垂径定理及推论是指 （当 = 1 \* GB3 ① = 3 \* GB3 ③为条件时，要对另一条弦增加它不是 的限制） 7．垂径定理的运用 例1， 在直径650mm的圆柱形油槽中一些油后，截面如图。若油面宽AB=600mm，求油的最大深度。 解：过⊙O作OF于E，交⊙O于F，连接OA 垂经定理是涉及圆内计算的重要定理设EF=xmm 垂经定理是涉及圆内计算的重要定理 OE=650-x=325-x OEAB AE= AB= 在RtAOE中，= + 即 = + 解得x1= ， x2= 答：油槽的最大深度为 例2．本市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选A，B，C三根木柱，使得A，B之间的距离A，C之间的距离相等。并测得BC长为240米，A到BC的距离为5米，请帮她们求出滴水湖的半径。 画，标，标，联，写 画，标，标，联，写 即时练习 : 1，已知圆的半径为5，两平行弦长为6和8，则这两条弦的距离为 。 2．已知AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，OE交AC于D，AC=8，DE=2，求OD的长。 【学习小结】 1．圆是 图形，其对称轴是任意一条 。 2．垂直于弦的 平分这条弦，并且平分弦所对的 。 3．垂径定理及推论与勾股定理进行计算是常考内容，一般是在 三角形中研究。所以常见辅助线 ，常用数学思想有 【达标检测】 1．下列命题正确的是( ) A．弦的垂线平分弦所对的弧 B． 平分弦的直径垂直于这条弦 C． 过弦的中点的直线必过圆心 D． 弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 2．如图已知⊙Ｏ的半径为30mm， 弦AB=36mm，点O到AB的距离是