椭圆和标准方程.ppt

1.1 椭圆及其标准方程 我们生活空间中的椭圆 椭圆形图案和徽标,具有对称的美,给人以大方圆润的感觉，常应用于广告设计和公司徽标设计。 2005年12月9时，我国载人航天飞机“神六” 从酒泉卫星发射中心升空，先是在近地点200公里，远地点347公里的椭圆轨道环地球飞行。６个半小时后，飞船飞行到第5圈，成功实现变轨为圆形轨道，标志着我国航天技术发展到一个崭新的阶段。 行星、卫星、人造卫星等天体的运行轨道都是椭圆。 合作探究 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个什么图形？ 如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的又是什么图形？这一过程中，笔尖（动点）满足什么几何条件？ 圆的轨迹图.swf 椭圆的轨迹图.swf 一.椭圆的定义: 我们把平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数 的点的轨迹叫做椭圆。 （大于|F1F2|） 结论：若常数大于|F1F2|, 则点M的轨迹是椭圆； 若常数等于|F1F2|, 则点M的轨迹是线段F1F2； 若常数小于|F1F2|, 则点M的轨迹不存在。 思考交流：定义中的常数为什么要大于焦距？ 定点F1 ， F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1 ， F2间的距离 叫作椭圆的焦距。 故椭圆的两焦点坐标分别为 F1(-c,0) 和 F2(c,0) 化简，得 以经过椭圆焦点 F1，F2 的直线为 x 轴，线段F1F2的中垂线为y轴，建立直角坐标系xoy。 设 M(x,y)是椭圆上的任一点， 设椭圆的焦距为 2c，点M与两焦点的距离之和为常数 2a。 二. 椭圆的标准方程 移项，得 故由椭圆的定义得 （a c） 2a 则方程可化为 观察左图， 你能从中找出表示 c 、 a 的线段吗？ 即 a2-c2 有什么几何意义？ 只需将 x，y 交换位置即得椭圆的标准方程.即 如果以椭圆的焦点所在直线为 y 轴，且F1、F2的坐标分别为（0，-c）和（0，c），a 、b 的含义都不变，那么椭圆又有怎样的标准方程呢？ 1. 焦点在x轴上： 2. 焦点在y轴上： O X Y F1 F2 M (-c,0) (c,0) O X F1 F2 M (0,-c) (0 , c) Y x型 y型 椭圆的统一形式： 在 与 这两个标准方程中， 都有的 要求。 注意： 所谓椭圆的标准方程， 一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点 为坐标原点； 例1.判断下列各式是否为椭圆的方程。如果是的话，说出a、b、c的值及其焦点所在的坐标轴。 是 焦点在x轴上。 不是 是 焦点在y轴上 不是 两边同时除以36,得 是 焦点在y轴上。 x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。 (1) 如果已知椭圆的标准方程，如何确定焦点在哪条坐标轴上？ (2) 当a为定值时，椭圆形状的变化与c有怎样的关系？ 图2-5.swf 解：因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为 又因为c=2, 所以 所以，所求椭圆的标准方程为 解法1 由椭圆的定义知 定义法 解法2 因为点 在椭圆上，又 得 所以椭圆的标准方程为 待定系数法 解：因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为 2、已知椭圆的方程为： ，请填空： a= ，b= ，c= ， 焦点坐标为 ，焦距等于 . 课堂示例: 10 6 8 16 (-8,0)、(8,0) 4 或 3、若M为椭圆 上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，并且︱MF1︱=6,则︱MF2︱= . 1、a=5，c=4的椭圆标准方程是 注:①这样设不失为一种方法. 课堂小结： 1、椭圆的定义：我们把平面内与两个定点 的距 离之和等于常数 的点的轨迹叫做椭圆。 （大于 ） （a c） 即 2a 2、椭圆的图形与标准方程 这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点，两焦点间