立体几何经典难题编.doc

立体几何难题汇编1 1. 在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的各种几何形体的以下判断中，所有正确的结论个数是（　　）①能构成矩形；②能构成不是矩形的平行四边形；③能构成每个面都是等边三角形的四面体；④能构成每个面都是直角三角形的四面体；⑤能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体． A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】 命题的真假判断与应用． 【专题】证明题． 【分析】画出图形，分类找出所有情况即可． 【解答】解：作出正方体： 在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的各种几何形体z只能有以下四种情况：?????????①任意一个侧面和对角面皆为矩形，所以正确；③四面体A1-BC1D是每个面都是等边三角形的四面体，所以正确；④四面体B1-ABD的每个面都是直角三角形，所以正确；⑤四面体A1-ABD的三个面都是等腰直角三角形，第四个面A1BD是等边三角形．由以上可知：不能构成不是矩形的平行四边形，故②不正确．综上可知：正确的结论个数是4．故选C． 【点评】全面了解正方体中的任意四个顶点构成的四面体和平面四边形是解题的关键． 2. 一个半径为1的小球在一个棱长为 的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是____________ ． 【考点】 棱锥的结构特征． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】小球与正四面体的一个面相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，正四面体的棱长为 ，故小三角形的边长为 ，做出面积相减，得到结果． 【解答】解：考虑小球与正四面体的一个面相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，正四面体的棱长为 故小三角形的边长为 小球与一个面不能接触到的部分的面积为 ，∴几何体中的四个面小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 4×18 =72 故答案为：72 【点评】本题考查棱柱的结构特征，本题解题的关键是看出小球的运动轨迹是什么，看出是一个正三角形，这样题目做起来就方向明确． 3. （2012?上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是 ______________. 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】作BE⊥AD于E，连接CE，说明B与C都是在以AD为焦距的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，BE=CE．取BC中点F，推出四面体ABCD的体积的最大值，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，求解即可． 【解答】 解：作BE⊥AD于E，连接CE，则AD⊥平面BEC，所以CE⊥AD，由题设，B与C都是在以AD为焦点的椭圆上， 且BE、CE都垂直于焦距AD，AB+BD=AC+CD=2a，显然△ABD≌△ACD，所以BE=CE．取BC中点F，∴EF⊥BC，EF⊥AD，要求四面体ABCD的体积的最大值， 因为AD是定值，只需三角形EBC的面积最大，因为BC是定值，所以只需EF最大即可，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，∵AB+BD=AC+CD=2a，∴AB=a，所以EB= EF= 所以几何体的体积为： ．故答案为： 【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力． 如图，直线l⊥平面α，垂足为O，已知在直角三角形ABC中，BC=1，AC=2， AB= ．该直角三角形在空间做符合以下条件的自由运动：（1）A∈l， （2）C∈α．则B、O两点间的最大距离为 _________. 【考点】 点、线、面间的距离计算． 【专题】转化思想． 【分析】先将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，以O为原点，OA为y轴，OC为x轴建立直角坐标系，B、O两点间的距离表示处理，结合三角函数的性质求出其最大值即可． 【解答】解：将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，以O为原点，OA为y轴，OC为x轴建立直角坐标系，如图．设∠ACO=θ，B（x，y），则有： x=ACcosθ+BCsinθ=2cosθ+sinθ，y=BCcosθ=cosθ．∴x2+y2=4cos2θ+4sinθcosθ+1=2cos2θ+2sin2θ+3 =2 sin（2θ+ ）+3， 当sin（2θ+ ）=1时，x2+y2最大，为 +3， 则B、O两点间的最大距离为1+ .故答案为：1+ ． 【点评】本题考查了点、线、面间的距离计算，解答关键是将空间几何问题