竞渡长江策略(国二等奖).doc

PAGE PAGE 14 抢渡长江模型 摘要 对于抢渡长江模型的建立问题，实际上就是一个怎样选择最佳路径的问题。对于此问题，本文从所给的实际问题，加上我们根据问题做出的合理假设，以及各个选手成功的特有条件。根据微分学以及一些物理知识，最优化条件，针对各个问题而建立的模型很好的解决了个问题。通过Mathemtica程序对模型分别进行了求解，得出了游泳者的最佳游泳速度大小与方向。在水流1.89m/s时，根据问题1的模型而解方程组算出了成绩为14分8秒的选手的游泳速度的大小为1.54155m/s,角度为117.4559。在人的速度为恒速1.5s时，其时间为910.465秒，角度为121.8。对于第二问，游泳者的游泳方向为垂直岸边，在这种特殊条件下，我们根据所建立问题2的模型解方程得出了要到达的临界条件为游泳者速度2.1924m/s。根据此模型通过对距离和度的比较，很好的解释了1934年与2002年到达终点比率的差别问题，也计算出了能够成功到达终点的条件。第三问根据拉格朗日最值定理求驻点，并利用Mathemtica画出了游泳者大致的游泳途径图形而得到最优路线为折线，并估计其成绩为904.021秒。问题四，充分利用变分法结合拉格朗日乘子法及泛函知识解决极值、以及化条件极值为无条件极值问题，引用了哈密尔顿函数，利用Mathematica假定当游泳者的速度为1.5米/秒时计算出了时间T=892.478秒，并绘制出了游泳者最佳路线图。 最后在模型推广中，对游泳者到达终点的条件进行了改进，提高了成功到达者的比率。我们认为，本文所建立模型很好的解决了抢渡长江的问题。 本文的最大特色在于通过建立了一模型，提高了成功者到达的比率，找到了到达终点的选手的条件。还充分利用了变份法，找到了一种能解决普遍问题的方法，推广了其运用。 一．问题的提出 1934年9月9日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。有44人参加横渡，40人达到终点。 2002年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160米。据报载，当日的平均水温16.8℃, 江水的平均流速为1.89米/秒。参赛的国内外选手共186人（其中专业人员将近一半），仅34人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。 假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为 1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000米，见示意图。 1160m 1160m 1000m 长江水流方向 终点: 汉阳南岸咀 起点: 武昌汉阳门 1. 假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89 米/秒。试说明2002年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。 在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么 1934年 和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。 若流速沿离岸边距离的分布为 (设从武昌汉阳门垂直向上为 y轴正向) ： 游泳者的速度大小（1.5米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。 4. 若流速沿离岸边距离为连续分布, 例如 或你们认为合适的连续分布，如何处理这个问题。 给有意参加竞渡的游泳爱好者写一份竞渡策略的短文。 所建立的模型还可能有什么其他的应用？ 二．问题假设 1．在竞渡区域两岸为平行直线。 2．除水流之外，不受其它因素的影响。 3．竞渡过程中游泳者全程的速度大小恒定。 4．将游泳者看着一个质点。 5．设竞渡区内无阻碍游者前进的阻碍物。 6．水流速度的方向一定。 三．符号说明 人游泳的速度在平行水流方向的分速度 人游泳的速度在垂直水流方向的分速度 人游泳的速度和水流的合速度 水流速度 t 时间 游泳者的游泳方向与平行水流方向的夹角 -- 游泳者游泳速度 合速度与平行水流方向的夹角 OA连线与平行水流方向的夹角 T 起点到终点所用的总时间 S -- 游泳者在时间t内的总路程 四．问题分析 首先，以武昌汉阳门码头为原点O，河正岸为x轴，河下游方向为x轴正向，垂直x轴方向为y轴，指向河对岸方向为y轴正向。