2019年山东德州初中数学大题加练(一).doc

大题加练(一) 姓名：________　班级：________　用时：______分钟 1．(2018·武城一模)定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”． 性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 理解：如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD＝S△BCD. 应用：如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AD上，点F在BC上，AE＝BF，AF与BE交于点O. (1)求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”； (2)连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积． 探究：在△ABC中，∠A＝30°，AB＝4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，△A′CD和△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的eq \f(1,4)，请直接写出△ABC的面积． 2．(2018·武城二模)在△ABC中，∠ACB＝45°，点D(与点B，C不重合)为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边在AD的右侧作正方形ADEF. (1)如果AB＝AC，如图1，且点D在线段BC上运动，试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论； (2)如果AB≠AC，如图2，且点D在线段BC上运动，(1)中结论是否成立，为什么？ (3)若正方形ADEF的边DE所在直线与直线CF相交于点P，设AC＝4eq \r(2)，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．(用含x的式子表示) 参考答案 1．应用： (1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠BFO. 又∵∠AOE＝∠FOB，AE＝BF， ∴△AOE≌△FOB，∴OE＝OB， ∴△AOB和△AOE是“友好三角形”． (2)解：∵△AOE和△DOE是“友好三角形”， ∴S△AOE＝S△DOE，AE＝ED＝eq \f(1,2)AD＝3. ∵△AOB与△AOE是友好三角形， ∴S△AOB＝S△AOE. ∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE＝S△FOB， ∴S△AOD＝S△ABF， ∴S四边形CDOF＝S矩形ABCD－2S△ABF＝4×6－2×eq \f(1,2)×4×3＝12. 探究： 解：当△ABC为锐角三角形时，如图，过B作BM⊥AC于点M，连接A′B. ∵S△ACD＝S△BCD，∴AD＝BD＝eq \f(1,2)AB. ∵沿CD折叠A和A′重合， ∴AD＝A′D＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)×4＝2. ∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的eq \f(1,4)， ∴S△DOC＝eq \f(1,4)S△ABC＝eq \f(1,2)S△BDC＝eq \f(1,2)S△ADC＝eq \f(1,2)S△A′DC， ∴DO＝OB，A′O＝CO， ∴四边形A′DCB是平行四边形，∴BC＝A′D＝2. ∵BM⊥AC，AB＝4，∠BAC＝30°， ∴BM＝eq \f(1,2)AB＝2＝BC， 即C和M重合， ∴∠ACB＝90°. 由勾股定理得AC＝eq \r(42－22)＝2eq \r(3)， ∴S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AC＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)＝2eq \r(3). 当△ABC为钝角三角形时，如图，过点C作CQ⊥A′D于点Q，连接A′B. ∵S△ACD＝S△BCD，∴AD＝BD＝eq \f(1,2)AB. ∵沿CD折叠A和A′重合， ∴AD＝A′D＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)×4＝2. ∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的eq \f(1,4)， ∴S△DOC＝eq \f(1,4)S△ABC＝eq \f(1,2)S△BDC＝ eq \f(1,2)S△ADC＝eq \f(1,2)S△A′DC， ∴DO＝OA′，BO＝CO， ∴四边形A′BDC是平行四边形， ∴A′C＝BD＝2. ∵CQ⊥A′D，A′C＝2，∠DA′C＝∠BAC＝30°， ∴CQ＝eq \f(1,2)A′C＝1， ∴S△ABC＝2S△ADC＝2S△A′DC＝2×eq \f(1,2)A′D·CQ＝2×eq \f(1,2)×2×1＝2. 综上所述，△ABC的面积是2或2eq \r(3). 2．解：(1)CF⊥BD.证明如下： ∵AB＝AC，∠ACB＝45°，∴∠ABC＝45°. 由正方形ADEF得AD＝AF. ∵∠DAF＝∠BAC＝90°， ∴∠DAB＝∠FAC，∴△DAB≌△FAC(SAS)， ∴∠ACF＝∠ABD，∴∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝90°， 即CF⊥BD. (2)AB≠AC时，CF⊥BD的结论成立． 理由：如图，过点A作