立体几何高考经典题理科.doc

PAGE 1·如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点。 （Ⅰ）求证：AC⊥SD； （Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小 （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。 z z x P C B A D y 2·如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四 边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。 3·如图，直三棱柱中，， 是棱的中点， （1）证明： （2）求二面角的大小。 1·解法一：（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中，，所以,得. (Ⅱ)设正方形边长，则。 又，所以, 连，由（Ⅰ）知,所以, 且,所以是二面角的平面角。 由,知,所以, 即二面角的大小为。 （Ⅲ）在棱SC上存在一点E，使 由（Ⅱ）可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故. 解法二：（Ⅰ）；连,设交于于，由题意知.以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图。 设底面边长为，则高。 于是 故 从而 (Ⅱ)由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为 （Ⅲ）在棱上存在一点使. 由（Ⅱ）知是平面的一个法向量， 且 设 则 而 即当时， 而不在平面内，故 zxPCBADy2·解析1： z x P C B A D y 从而BD2+AD2= AB2，故BD AD;又PD 底面ABCD，可得BD PD 所以BD 平面PAD. 故 PABD （Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则 ,,,。 设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则, 即 因此可取n= 设平面PBC的法向量为m，则 可取m=（0，-1，） 故二面角A-PB-C的余弦值为 3·【解析】（1）在中， 得： 同理： 得：面 （2）面 取的中点，过点作于点，连接 ，面面面 得：点与点重合 且是二面角的平面角 设，则， 既二面角的大小为 4·如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1， ∠BA A1=60°. （Ⅰ）证明AB⊥A1C （Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C 5.如图三棱锥中，侧面为菱形，. (Ⅰ) 证明：； （Ⅱ）若，，AB=Bc，求二面角的余弦值. 4·【解析】（Ⅰ）取AB中点E，连结CE，，， ∵AB=，=，∴是正三角形， ∴⊥AB， ∵CA=CB， ∴CE⊥AB， ∵=E，∴AB⊥面， ∴AB⊥； ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知EC⊥AB，⊥AB， 又∵面ABC⊥面，面ABC∩面=AB，∴EC⊥面，∴EC⊥， ∴EA，EC，两两相互垂直，以E为坐标原点，的方向为轴正方向，||为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系， 有题设知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(－1,0,0),则=（1,0，）,==(－1,0,),=(0,－,), ……9分 设=是平面的法向量， 则，即，可取=（，1，-1）， ∴=， ∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为 5·解析：（1）连结，交于，连结.因为侧面为菱形，所以，且为与的中点. 又，故 （2）因为且为的中点，所以 又因为，所以 故，从而，，两两互相垂直. 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示空间直角坐标系. 因为，所以为等边三角形.又，则 ，，， ，， 设是平面的法向量， 即 所以可取 设是平面的法向量，则 同理可取 则 所以二面角的余弦值为.