生动讲解中国剩余定理 从韩信点兵开始.pptxVIP

孙子定理The Chinese Remainder Theorem; 韩信点兵 韩信带贰仟伍佰士兵出去打仗，回营后，刘邦问士兵人数。韩信让士兵先列成五行纵队，末行一人；列成六行纵队，末行五人；列成七行纵队，末行四人；列成十一行纵队，末行十人。韩信立刻回答二千一百一十一人。刘邦惊为天人！;物不知数问题 ——《孙子算经》;物不知数问题的解;;;孙子定理 设m1,m2,…,mk 是 k 个两两互素的正整数，m= m1m2…mk , Mi =m/ mi (i=1,…,k ),则同余方程组 x ≡b1 (mod m1); x ≡b2( mod m2); …… ; x ≡bk (mod mk ) 有唯一解 x ≡ M1 N1b1+ M2 N2b2+…+ Mk Nk bk(mod m) 其中MiNi≡1 (mod mi) (i=1,…,k)。 ;证明：因为(mi,mj)=1,i?j,则 (Mi, mi)=1,对每个Mi，都存在Ni,使得 MiNi ≡1 (mod mi) 又m=mi Mi ,故mj |Mi , i?j,即 MiNi≡0 (mod mj) 则M1 N1b1+ M2 N2b2+…+ Mk Nk bk≡ bi (mod mi).因此 x≡M1 N1b1+ M2 N2b2+…+ Mk Nk bk (mod m)是同余方程的整数解。 ;如果y也是上述同余方程的解，则满足 x?y(mod m1); x?y(mod m2); …; x?y(mod mk) 即m1 |(x-y), m2 |(x-y),…, mk |(x-y).所以 m|(x-y) 即x?y(mod m). 即证方程在模m条件下有唯一解。 ;解：应用孙子定理 m1 =5, m2 =6, m3=7, m4 =11; b1 =1, b2 =5, b3=4, b4 =10; m=5?6?7?11=2310; ;南宋秦九韶对“物不知数”问题进行推广，得到求解一次同余方程组的一般方法，定名“大衍求一术”。 欧拉和高斯在研究一次同余式问题时，得到与秦九韶“大衍求一术”相同的定理，因此被国外学者称为“中国剩余定理”。 近世代数的发展赋予中国剩余定理更崭新的生命，不仅可以解决整数同余问题，还可以推广到一般交换环中。;