满秩分解的方法.ppt

例1 化矩阵A为Hermite 标准形 1）求矩阵A的Hermite 标准形H； 2）取矩阵C为H的前r个非0行； 3）取矩阵B为A的对应于H的r个单位向量的列； 则A=BC 第五节 QR分解 QR分解也称为正交三角分解 QR分解定理 任意一个满秩实(复）矩阵A，都可唯一地分解A = QR ，其中Q为正交（酉）矩阵，R是具有正对角元的上三角矩阵。 * * 第四节 满秩分解 本节讨论将一个非零矩阵（长方形）分解成一个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵的乘积问题. 主要内容： 1·矩阵的Hermite标准型 2·利用Hermite标准型进行矩阵的满秩分解 满秩分解定理 为了说明矩阵满秩分解定理以及满秩分解方法， 先介绍Hermite 标准形（或行最简形）。 （1）式称为矩阵A的满秩分解. 说明：当A为满秩矩阵（列满秩或行满秩），A可分解为一个因子为单位矩阵，另一个因子为A本身，称此满秩分解为平凡分解。 定义矩阵 的Hermite 标准形H为 1)前r行中，每行至少有一个非0元，且第一个非零元为1，而后m-r行全为0； 2）若H中第i行的第一个非零元1位于第ki（i=1,2,…,r)列,则有k 1k 2 …k r; 3) k 1,k 2, …,k r列为单位矩阵I m的前r列. 即有： 定理：任何一个非零矩阵都可通过初等行变换化为Hermite 标准形H，且H的前r行线性无关。采用矩阵的说法就是，存在 使得 满秩分解定理：设 且A的Hermite 标准形H为 则取A的第 列构成矩阵B，取H的前r行构成矩阵 C，则A=BC即为矩阵A的满秩分解 满秩分解的步骤 例：求矩阵 的满秩分解 首先利用行初等变换求A的Hermite 标准形H： 可见 故A的满秩分解为 设 则 注2、 矩阵A的满秩分解虽然不唯一的，但对不同的 分解：A=BC，乘积 保持不变。 注1、 矩阵A的满秩分解是不唯一的 矩阵QR分解是一种特殊的三角分解，在解决矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重要作用。 主要内容： 1·矩阵的QR分解-- Schmidt正交化方法 2·矩阵的QR分解-- Householder变换、 Givens变换（略） 由于x 1,x 2, …,x n 线性无关，将它们用Schmidt正交 证明 设A是一个实满秩矩阵, A的n个列向量为 x 1,x 2, …,x n 定义:设 如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角矩阵 R，使得 则称之为A的QR分解或酉三角分解 当 时，则称为A的正交三角分解 化方法得标准正交向量e 1,e 2, …,e n