牛顿迭代法（牛顿-拉夫森)数值分析.docVIP

牛顿迭代法 一、 牛顿迭代法 牛顿迭代法也称为牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它是数值分析中最重要的方法之一，它不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解。 迭代公式 用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非常重要的，那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢？牛顿迭代法就是常用的方法之一，其迭代格式的来源大概有以下几种方式（主要是第一种）： 1、设，对在点作泰勒展开： 略去二次项，得到的线性近似式：。 由此得到方程0的近似根(假定0)， 即可构造出迭代格式(假定0)： 公式(1) 这就是牛顿迭代公式，若得到的序列{}收敛于，则就是非线性方程的根。 2、 牛顿迭代法也称为牛顿切线法，这是由于的线性化近似函数＝是曲线＝过点的切线而得名的，求的零点代之以求的零点，即切线与轴交点的横坐标，如右图所示，这就是牛顿切线法的几何解释。实际上，牛顿迭代法也可以从几何意义上推出。利用牛顿迭代公式，由得到，从几何图形上看，就是过点作函数的切线，切线与轴的交点就是，所以有，整理后也能得出牛顿迭代公式： 。 3、 要保证迭代法收敛，不管非线性方程0的形式如何，总可以构造： 作为方程求解的迭代函数。因为： 而且在根附近越小，其局部收敛速度越快，故可令： 若0(即根不是0的重根)，则由得：， 因此可令，则也可以得出迭代公式：。 4、 迭代法的基本思想是将方程改写成等价的迭代形式，但随之而来的问题却是迭代公式不一定收敛，或者收敛的速度较慢。运用前述加速技巧，对于简单迭代过程，其加速公式具有形式： ，其中 记，上面两式可以合并写成： 这种迭代公式称作简单的牛顿公式，其相应的迭代函数是：。 需要注意的是，由于是的估计值，若取，则实际上便是的估计值。假设，则可以用代替上式中的，就可得到牛顿法的迭代公式：。 牛顿迭代法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程逐步归结为某种线性方程来求解。 算法描述 用Newton法求方程f（x）=0的一个解 输入 初始值x0；误差容限TOL；最大迭代次数m 输出 近似解p或失败信息 Step1 Step2 对i=1，2，...，m做setp3~4 Setp3 Setp4 若，则输出（p），停机，否则 Setp5 输出失败信息；停机 注：在第4步中的迭代终止准则可用： 四、C语言代码 求一元四次方程的解 double func(double x) //函数 { 　　return x*x*x*x-3*x*x*x+1.5*x*x-4.0; 　　} 　　 double func1(double x) //导函数 　　 { 　　return 4*x*x*x-9*x*x+3*x; 　　} 　　 int Newton(double *x,double precision,int maxcyc) //初始值， 精度， 迭代次数 　　 { 　　 double x1,x0; 　　 int k; 　　 x0=*x; 　　 for(k=0;kmaxcyc;k++) 　　 { 　　 if(func1(x0)==0.0)//若通过初值，函数返回值为0 　　 { 　　 printf(迭代过程中导数为0!\n); 　　 return 0; 　　 } 　　 x1=x0-func(x0)/func1(x0);//进行牛顿迭代计算 　　if(fabs(x1-x0)precision || fabs(func(x1))precision) //达到结束条件 　　 { 　　*x=x1; //返回结果 　　return 1; 　　} 　　else //未达到结束条件 　　 x0=x1; //准备下一次迭代 　　 } 　　 printf(迭代次数超过预期!\n); //达到迭代次数，仍没有达到精度 　　 return 0; 　　 } 　　 int main() 　　 { 　　 double x,precision; 　　 int maxcyc; 　　 printf(输入初始迭代值x0:); 　　 scanf(%lf,x); 　　 printf(输入最大迭代次数:); 　　 scanf(%d,maxcyc); 　　 printf(迭代要求的精度:); 　　 scanf(%lf,precision); 　　 if(Newton(x,precision,maxcyc)==1) //若函数返回值为1 　　 printf(该值附近的根为:%lf\n,x); 　　 else //若函数返回值为0 　　 printf(迭代失败!\n); 　　 getch(); 　　 return 0; 　　 } 二元函数的牛顿迭代法 设z=f（x，y）在点（x0，y0