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乒乓球的弹跳罗基斯第模型
[问题]罗基斯第模型
一个乒乓球离球拍的高度为h ，落在球拍上反弹，设恢复系数为e，不计空气阻力。
0
2
(1)如果e 为常数，讨论球的高度变化的规律。如果e 与高度h 成线性关系
n
2
e μ(1– h /H ) (2.1)
n 0
其中H 是最大高度，μ是参数。对于不同的参数讨论小球高度的变化规律。
0
(2)当参数连续变化时，分析最后分布的高度。
(3)计算前几个分岔点。
(4)用李雅普洛夫指数判断混沌的发生。
[解析](1)当球从高度h 下落到球拍上之前速度为
n
vn 2ghn (2.2)
球与球拍碰撞后反弹的速度为
v ev (2.3)
n n
球反弹的高度为
2
hn+ 1 e hn (2.4)
如果e 1，则球的反弹高度随次数不断减小；如果e 1，则球反弹后始终保持初始高度；
如果e 1，例如球拍每次加一个向上的冲击力，则球的高度随次数不断增加。
2
e 与高度的线性关系说明：如果球的高度较大，则恢复系数较小，反之较大。设相对高
度为x h /H ，则下一次上升的相对高度为
n n 0
x μ(1–x )x ，(n 0,1,2,…) (2.5)
n+ 1 n n
这是著名的罗基斯第模型。由于相对高度0≤x ≤ 1，而(1–x )x 的最大值为1/4，所以参数
n n n
的值在0 到4 之间。球的高度强烈依赖参数。
[算法](1)先取一个参数，再取一个相对高度，通过迭代算法计算下一次碰撞后的高度，
画出高度点，依此类推。再取另一高度参数，重新通过迭代算法计算高度，画出高度点，依
此类推。
[程序]MATH2_1.m 如下。
%乒乓球与球拍的碰撞高度
clear %清除变量
u input(请输参数(参考值:0.5,2,3.25,3.5,3.56,3.8):);%键盘输入初始相对高度(1)
xn 0.9; %第1个的初始相对高度(2)
figure %开创图形窗口
plot(0,xn,.) %画高度点
text(0,xn,num2str(xn),FontSize,16) %标记第1个的初始高度
grid minor %加细网格
title([乒乓球与球拍的碰撞高度(\it\mu\r
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