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在小学, 我们通过对一个三角形进行折叠、剪拼等操作(如图), 知道三角形的内角和是180°,你能说出这些方法的原理吗?
折叠三角形纸板,可以把它的三个角拼成一个角.
可以将∠A,∠B剪下并移至顶点C处拼接成一个角.
上述两种操作都是将三角形的三个内角拼到一起构成一个平角.
由此受到启发:
因为直线在平移下的像是与它平行的直线,
所以∠B+∠BAC+∠C=180°.
探究
结论
三角形的内角和等于180°.
三角形内角和定理还有其它的证明方法吗?
多种方法证明的核心是什么?
借助平行线的“移角”的功能,将三个角转化成一个平角.
思考
例3 在△ABC 中, ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍,∠C 比∠B 大15°,求∠A,∠B,∠C的度数.
解 设∠B为x°,则∠A为(3x )°,
∠C为(x + 15) °, 从而有
3x + x +( x + 15 )= 180.
解得 x = 33.
所以 3x = 99 , x + 15 = 48.
答: ∠A, ∠B, ∠C的度数分别为99°, 33°, 48°.
几何问题借助方程来解。这是一个重要的数学思想。
三角形中, 三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形, 有一个角是直角的三角形叫直角三角形,
有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形。
三角形按角如何分类呢?
直角三角形可用符号“Rt△” 来表示, 例如直角三角形ABC 可以记作“Rt△ABC”. 在直角三角形中, 夹直角的两边叫作直角边, 直角的对边叫作斜边.
两条直角边相等的直角三角形
叫作等腰直角三角形.
三角形的内角和等于180°, 因此最多有一个直角或一个钝角.
探究
如图,把△ABC的一边BC延长, 得到∠ACD. 像这样, 三角形的一边与另一边的延长线所组成的角, 叫作三角形的外角.
对外角∠ACD来说,∠ACB是与它相邻的内角,∠A,∠B是与它不相邻的内角.
在下图中, 外角∠ACD 和与它不相邻的内角∠A, ∠B 之间有什么大小关系?
我觉得可以利用“三角形的内角和等于180° ” 的结论.
因为∠ACD +∠ACB = 180°,
∠A +∠B +∠ACB = 180°,
所以∠ACD -∠A -∠B = 0
(等式的性质).
于是∠ACD =∠A +∠B.
探究
结论
三角形的一个外角等于
与它不相邻的两个内角的和.
1、如图,在△ABC 中, ∠BAC =40°, ∠B = 75°,
AD 是△ABC 的角平分线.求∠ADB 的度数.
2.如图,C 岛在A 岛的北偏东50°方向,B 岛在A 岛的北偏东80°方向,C 岛在B 岛的北偏西40°方向.从B 岛看A,C 两岛的视角∠ABC 是多少度?从C岛看A,B 两岛的视角∠ACB 呢?
3.如图,∠BAE,∠CBF,∠ACD 是△ABC 的
三个外角,它们的和是多少?
4.如图,一艘轮船按箭头所示方向行驶,C处有一灯塔,轮船行驶到哪一点时距离灯塔最近?当轮船从A点行驶到B点时,∠ACB的度数是多少?当轮船行驶到距离灯塔最近点时呢?
1. 填空:
(1).在△ABC中∠A= 60°,∠B=∠C,则∠B= ;
(2).在△ABC中,∠A-∠B= 50°,
∠C-∠B= 40°, 则∠B= .
60°
30°
2. AD是△ABC的角平分线,∠B= 36°,∠C= 76°, 求∠DAC的度数.
∠DAC=34°
1、已知△ABC中,∠A= 70°,∠C=30°,∠B=( )
2、直角三角形一个锐角为70°,另一个锐角是( )
3、在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C,则∠C=( )
4、如果△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5,此三角形按角分类应为( )
80°
20°
50°
直角三角形
5.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.锐角三角形
B
6、说出各图中∠1 (或∠2) 的度数.
45°
30°
95°
45°
40°
140°
110°
70°
50°
140°
7.如图,从A 处观测C 处的仰角∠CAD = 30°,从B 处观测C 处的仰角∠CBD = 45°.从C 处观测A,B 两处的视角∠ACB 是多少?
8.如图,D是△ABC 的BC 边上一点,∠B =∠BAD,∠ADC =80°,∠BAC =70°.
求:(1)∠B 的度数;(2)∠C 的度数.
15°
40°
70°
如图,在△ABC中,∠B=47
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