人教版九年级上数学第23章节：旋转（培优训练）学案设计.docx

旋转培优训练 一、本节重点讲解旋转与几何证明，是用旋转变换的思想解决相关几何证明题，是近几年中考的必考内容，也是中考的重点和难点。运用旋转的全等变换，证明线段与角相等或差倍分关系，是近年中考压轴题的常考题型。 二、知识回顾 1.旋转及其基本性质 （1）旋转的概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向（顺时针或逆时针）转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心、转动的角称为旋转角。旋转的三要素：旋转方向、旋转角、旋转中心。 （2）旋转的基本性质：旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等，都等于旋转角。 （3）理解旋转中的不变量：图形旋转的主要因素是旋转的方向和旋转的角度，图形在旋转过程中，图形中的每一个点都按同样的方向旋转了相同的角度。图形在旋转后点的位置改变，但线段的长度不变，对应点到旋转中心的距离不变，每对对应点与旋转中心连线所成的角都相等。 2.旋转前后两个图形的比较 （4）图形是由点组成的，图形中的主要元素有线段和角，也有一些其他可度量的元素，所以从这两个方面加以分析。 （5）旋转的特点有以下几个方面 ①旋转前后两个图形的形状和大小没有发生改变，位置发生了改变。 ②对应线段相等，对应角相等 ③每对对应点与旋转中心连线所成的角都是相等的，它们都是旋转角。 旋转与几何证明 一、本节概述 图形变换是非常重要的内容，旋转变化就是其中一种，中考中大量的压轴题都和旋转有关。关于旋转也有很多模型，利用这些模型，大家能够更容易解题。 “等线段共端点”旋转模型：如下图中两条红色线段相等且有公共端点P，就可将绕P点旋转得到. 二、典例精析 知识点1：旋转与几何证明1 【例1】如下图，设P是等边三角形ABC内一点，PA=3,PB=4,PC=5,则= 度。 思路分析：本题为等边三角形内有一点的旋转模型题目，只要按照下面方法操作即可。 方法一：可旋转得到相关结论： 解：将绕点B逆时针旋转60得到,连接, 利用线段的数量关系，及勾股定理逆定理得到相关结论，进而求出的度数。 在三角形APP’中AP=3, PP’=4, AP’=5, 思考探究： 你还能想到其他方法吗？ 方法二：把绕点A逆时针旋转60 方法三：把绕点B顺时针旋转60 方法四：把绕点A顺时针旋转60 方法总结：旋转是重要的图形变换，图形变换是解答几何题目的一个重要的思考方向，从这个角度更容易入手，只要满足图形变换的条件，反复尝试即可，旋转的条件其实很简单，只要满足“等线段共端点”即可旋转。 【例2】如图，三角形ABC是等边三角形，P是它外面一点AP=3,PC=4,,则BP的长 。 方法一：以顺时针旋转三角形APB为例，并计算相关量。 解：将三角形APB绕点A顺时针旋转，得到三角形,连接PP’, 由勾股定理求出PB的长度。 方法二：三角形APB绕B点逆时针旋转60. 方法三：三角形APC绕A点逆时针旋转60. 方法四：三角形APC绕C点顺时针旋转60. 方法五：三角形BPC绕C点逆时针旋转60. 方法六：三角形BPC绕B点顺时针旋转60. 方法总结：“等线段共端点”就可尝试旋转，如果有等边三角形，通常旋转60，构造新的等边三角形进行求解。 知识点2：旋转与几何证明2 构造线段旋转模型： 如图，将三角形ABP绕点P旋转得到,则 三种常见的构造： 若; 若; 若. 【例3】如图，三角形ABC最大内角小于120，P是平面内一动点，当PA+PB+PC 取得最小值时，求证 证明：将三角形APC绕点C顺时针旋转60得到,连接PP’,BA’. 利用旋转的性质得到相关结论，并找出最小值。 求出最小值，各角度数。 当点P、P’落在线段BA’上时，取得最小值。 , 方法总结：本题实际上是著名的“费马点”的一种情况，本题利用旋转时，已经抛开了“等线段共端点”这一条件，进一步拓展了旋转的应用条件，实际上旋转的目的就是改变图形的位置，构造条件，方便解题。 【例4】如图，在四边形ABCD中，的周长为，AC=，求证： 思路分析：本题的关键是构造的线段，可以考虑把三角形旋转90构造。 将三角形ABC绕点A逆时针旋转90或把三角形ADC绕点A顺时针旋转90均可以构造AC，考虑到旋转后需要证共线，因此采用其他方式说明辅助线的作法，仅以三角形ABC为例。 证明：作 利用条件证明三角形全等。 利用全等三角形得到条件后，进一步证明另一对全等三角形。 利用全等得到的线段关系，进行等量代换，进而得到结论。 方法总结 本题利用旋转90构造倍线段的方法，使题目思路更清晰。 三、成果检测： 1.如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且，过点C作与F，连接OF，则OF的长为____。 2.