计算物理方法Sec1Sec2.pptx

计算物理熊诗杰;凝聚态物理中数值计算的基本特点 大型矩阵的数值严格对角化方法 密度泛函理论和固体能带理论 Monte Carlo方法;第一章 凝聚态物理中的数值计算; 二、多体波函数满足的基本方程 ---- 薛定谔方程 ; 是能量的本征值。; 3. 是厄米算符，能量本征值为实数。 4. 如果哈密顿表达为 阶矩阵，则有 个能量本征值，对应着 个正交归一的本征波函数。本征值有可能在数值上一样（简并）。;;第二章：大型Hamiltonian系统的数值严格对角???方法－Lanczos方法; 例如，如果我们用分立的自旋来描写磁性晶格中的磁性原子，而磁性原子间的互作用则用相邻的自旋格点间的交换积分来表达，我们可以得到如下的Heisenberg哈密顿量： ; 集作为基，把哈密顿量在这个基上用矩阵的形式表达出来，再对该矩阵进行数值求解。然而，与能带论中所用的单电子近似不同的是，这种强关联的多粒子体系所对应的Hilbert空间的基矢的个数是极其庞大的。在我们这个例子中，每个格点上的自旋的状态数是(2S+1)，如果我们研究的有限的系统包含有N个格点，那么总的状态数就是(2S+1)N个，也就是说，哈密顿矩阵的大小应该是(2S+1)N×(2S+1)N。这是一个极其庞大的数字，例如，我们研究一个只 ; 有4×4大小的自旋为1/2的二维晶格，那么哈密顿矩阵的大小就是65536×65536，这样大小的矩阵的直接数值求解在现在的绝大多数计算机中都是办不到的。 矩阵维数的增大使得求解本征值和本征函数变得非常困难，但是，我们看到，在绝大多数在物理上感到兴趣的问题中，哈密顿矩阵都有如下特点： (1) 哈密顿矩阵都是厄米矩阵。; (2) 尽管哈密顿矩阵异常庞大，但是其中绝大多数非对角矩阵元都是零，只有数量很少的非零矩阵元，也就是说，这种矩阵是极为稀疏的矩阵。例如，对我们刚才讲的例子，哈密顿矩阵的每一行尽管有65536个元素，但其中非零的矩阵元不会超过5个。 (3) 所考虑的物理系统，一般都具有一定的对称性，满足一定的守恒律。这样，我们就可以根据对称性和守恒律的要求，采用一定的基函数，使哈密顿矩阵分解成为互不关联的子矩阵，从而可以对比较小的子矩阵分别求解。; Lanczos方法就是根据上述特点所发展起来的一种极为有效的哈密顿矩阵求解本征值和本征函数的数值方法。近年来，它已被广泛应用到强关联系统、无序系统等极为重要的物理系统之中，成为计算物理中一项至关重要的新方法。我们这一单元，就是介绍这一方法的基本做法和它的一些重要的应用。;第二节 基本方法; 我们设H是某一在N维Hilbert空间中的厄米算符，而v1是该空间中的一个任意的归一化的向量，即：v1+v1=1。我们连续地用H去作用，来构造出一组正交归一的向量：; ; 这些向量，v1, ……,vN , 称为Lanczos向量，它们构成了Hilbert空间的一组正交归一的完备集，以它作为基，哈密顿算符可表达为三对角矩阵的形式：; 如果U是H的本征向量，而u是 的对应的本征向量，它们之间的关系是： U＝Vu 这里V是以Lanczos向量作为列的矩阵。 如果算符H具有简并的本征值，则初始向量v1将包含对应于这个简并的本征值的一个本征向量（这是因为v1在这个简并本征值所对应的子空间的投影只有一个线性无关的向量）。这意味着Lanczos过程将在小于N步的地方中止，而且这个过程只给出对应于这个简并集合中的一个本征值和一个本征向量。一般来讲，如果H具有n个不同的本征值 ;（nN）E1，E2，…, En，它们分别是p1, p2, …,pn重简并，那么上述的迭代过程将中止在第n步，所得到的由Lanczos向量所张开的n维子空间将只包含每个简并集合中的一个本征态。所得到的n×n阶三对角矩阵将具有n个不同的本征值。于是，我们需要再去求出剩下的N-n个本征值和本征向量。我们可以选择一个新的初始向量，使它与所得到的所有Lanczos向量正交，来继续上述过程。同样，这个过程将经过m步之后中止，m应等于所剩下的具有不同数值的本征值的个数。我们可以这样继续下去，直到得到整个Hilbert空间中的全部本征值和本征向量为止。这样得到的三对角矩阵具有块对角形的结构，即：; 这里每个块都是非简并的，而且其维数等于在前面的块构成之后所剩下的不相等的本征值的个数。 ; Lanczos方法具有一个十