曲线积分与曲面积分 复习.ppt

第十一章 曲线与曲面积分 第一类曲线积分 特点(1)被积函数的定义域是曲线弧. (2)微元 是平面曲线弧长元素. (3)空间曲线上的一类曲线积分 对弧长的曲线积分: (1)公式法: L的参数方程： L: L: 一定，二代，三换元，定，代，换关键在方程。小下限,大上限. 2.第一类曲线积分的计算 步骤： 1.写出L的参数方程，确定参数的范围 2.化为定积分 一定，二代，三换元，定，代，换关键在方程。小下限,大上限. (2)技巧：对称性简化计算. 例题 例1 其中L 为圆周 直线 及x轴在第一象限 边界. 计算 内所围成的扇形的整个 例3 计算 其中L为 形成 的弧段. y x o 例2 其中 为折线ABCD,这里A， 计算 B，C，D依次为 述移动过程中变力 所作的功W. 设一质点在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动 的作用，其中函数 到点B,在移动过程中，这质点受到变力 在L上连续.计算在上 第二类曲线积分 1.引例：变力沿平面曲线做功 对坐标的曲线积分 (2)被积函数的定义域是曲线弧. 对坐标的曲线积分 特点(1)积分曲线是有向曲线弧. (3)微元 是有向弧微分 在坐标轴上的投影 与一类曲线积分的本质区别 (4)变力沿空间曲线做功 一定，二代，三换元，定，代，换关键在方程。下起上终之参. 2.第二类曲线积分的计算 (1)公式法: 有向曲线L的参数方程： 从 到 L: 从 到 L: 从 到 从 到 从 到 步骤： 1.写出L的参数方程，确定参数的走向 2.化为定积分 一定，二代，三换元，定，代，换关键在方程。下起上终之参. 例题 其中L为沿抛物线 从点 到 的一段. 例4 计算 例5 计算 其中 是从 到 的直线段. (1)格林公式——平面闭曲线 定理1 设区域 D 是由分段光滑的曲线 L围成， 则有 ( 格林公式 ) 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 其中L是D的正向边界曲线. D D 第二类曲线积分的重要定理 说明： (1)格林公式仅计算平面闭曲线的二类曲线积分. (2) L是D的正向边界曲线——沿着边界走，区域在左手. (3) L必须是封闭的平面曲线. 在D上具有连续一阶偏导数. (4) 添边：构成闭区域，具有连续一阶偏导数. 加负号：沿着边界走，区域在右手，记得添负号。 挖洞：含奇点时莫忘挖洞去奇点. 例6 计算 其中L为 的负向. 例7 计算 上由点 到点 的一段弧. 其中L为 应用： 其中L为一无重点且不过 例8 计算 原点的分段光滑正向闭曲线. y x o x y o L D y x o B A 定义： 曲线积分与路径无关等价于 条件： (2)曲线积分与路径无关 则曲线积分 在D内 定理2 设D 是单连通域 , 在D 内 具有一阶连续偏导数, 在 D 内恒成立. 路径无关(或沿D内任意闭曲线的曲线积分为零)的充 函数 要条件是 ，其中L是从点 例10 计算 到点 的任意有向曲线. 利用路径无关计算曲线积分 ，其中L是xoy平面内的任 例9 计算 意有向闭曲线. 特点：路径无关，闭曲线,积分为零. 特点：路径无关，非闭曲线,选易积分路线. 第二类曲线积分的计算方法总结 1.公式法：被积函数与积分路径简单. 2.格林公式：平面闭曲线，不易积分，但 简单. 3.路径无关：选择简单路径，积分. 三、二元函数的全微分求积 ? ? 设区域D是一个单连通域, 函数P(x,y)及 定理3 在D内恒成立. u(x,y)的全微分的充 在D内为某一函数 Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数,则曲线积分的被积 表达式 要条件是 1.全微分的条件 y x o 在整个xoy面内 例11 验证 的全微分，并求这样一个函数. 是一函数 第一类曲面积分 “一投，二代，三换，投影，换元看方程” 第一类曲面积分的计算 例12 计算 ,其中 为球面 例13 计算 ，其中 为 之间的圆柱面 例14 计算 ，其中 为平面 例15 计算 ，其中 为球