高考数学真题——函数压轴题(附答案).docx

2018年数学全国1卷 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在两个极值点，证明：． 解:（1）的定义域为，. （i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减. （ii）若，令得，或. 当时，； 当时，.所以在单调递减，在单调递增. （2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当. 由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于 ， 所以等价于. 设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，. 所以，即. 2017年数学全国1卷 已知函数ae2x+(a﹣2) ex﹣x. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围. （1）的定义域为，， （ⅰ）若，则，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增. （2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点. （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点. 设正整数满足，则. 由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为 2016年数学全国1卷 已知函数有两个零点. （I）求a的取值范围； （II）设x1，x2是的两个零点，证明：. 【答案】(I)；（II）见解析 【解析】 试题分析：(I)求导，根据导函数的符号来确定（主要要根据导函数零点来分类）；(II)借助(I)的结论来证明，由单调性可知等价于，即．设，则．则当时，，而，故当时，．从而，故． 试题解析：（Ⅰ）． （i）设，则，只有一个零点． 时，所以不存在两个零点． 若，则，故当时，；当时，．因此在单调递减，在单调递增．又当时，，所以不存在两个零点． 综上，的取值范围为． （Ⅱ）不妨设，由（Ⅰ）知，，在单调递减，所以等价于，即． 由于，而，所以 ． 设，则． 所以当时，，而，故当时，． 从而，故． 2013年数学全国1卷 设函数＝，＝，若曲线和曲线都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线 （Ⅰ）求，，，的值； （Ⅱ）当≥－2时，≤，求的取值范围。 21．【解析】（Ⅰ）由已知得， 而=，=，∴=4，=2，=2，=2；……4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，， 设函数==（）， ==， 有题设可得≥0，即， 令=0得，=，=－2， 1）若，则－2＜≤0，∴当时，＜0，当时，＞0，即在单调递减，在单调递增，故在=取最小值，而==≥0， ∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立， (2)若，则=， ∴当≥－2时，≥0，∴在(－2,+∞)单调递增，而=0， ∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立， (3)若，则==＜0， ∴当≥－2时，≤不可能恒成立， 综上所述，的取值范围为[1,]. 2012年数学全国1卷 已知函数满足. 求的解析式及单调区间； 若，求的最大值. 【解析】（1） 令得： 得： 在上单调递增 得：的解析式为 且单调递增区间为，单调递减区间为 （2）得 = 1 \* GB3 ①当时，在上单调递增 时，与矛盾 = 2 \* GB3 ②当时， 得：当时， 令；则 当时， 当时，的最大值为 2011年数学全国1卷 (I)设函数，证明：当时，； (II)从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明： 【命题意图】本题为导数、概率与不等式的综合,主要考查导数的应用和利用导数证明不等式.考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力. 【解析】(I) …………………………2分 当时, ,所以为增函数,又,因此当时, . …………………………5分 (II) . 又 所以. 由(I)知: 当时, 因此 . 在上式中,令,则 19,即. 所以 …………………………12分 2009年数学全国1卷 设函数在两个极值点，且 （I）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域； (II)证明： 分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。 大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根 则有 故有 右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。 (II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，（如果消会较繁琐）再利用的范围，并借助